l'equazione dell'ellisse di centro O(0;0) e fuochi F e F' posti sugli assi cartesiani è:

x²/a²+y²/b²=1

se a>b>0

i fuochi si trovano sull'asse x hai

semiasse maggiore: a

semiasse minore: b

semi-distanza focale: c=√(a²-b²)

fuochi: F(-c;0) e F'(c;0)

eccentricità: e=c/a



hai il sistema

a+b=3

(c/a)²=3/4



che diventa

a+b=3

(a²-b²)/a²=3/4



b=3-a

(a²-9+6a-a²)/a²=3/4



trovi

a=2 --> b=1

a=6 --> b=-3 non accettabile



quindi l'equazione è

x²/4+y²=1



per x=±√3 trovi y=±1/2



formula di sdoppiamento:

l'equazione della retta tangente all'ellisse in un suo punto P(xo;yo) è

(x·xo)/a²+(y·yo)/b²=1



se il punto P ha coordinate

P(√3;1/2) l'equazione della retta tangente all'ellisse è

(x√3)/4+1/2y=1

y=-x(√3/2)+2



se il punto P ha coordinate

P(√3;-1/2) l'equazione della retta tangente all'ellisse è

(x√3)/4-1/2y=1

y=x(√3/2)-2



se il punto P ha coordinate

P(-√3;1/2) l'equazione della retta tangente all'ellisse è

(-x√3)/4+1/2y=1

y=x(√3/2)+2



se il punto P ha coordinate

P(-√3;-1/2) l'equazione della retta tangente all'ellisse è

(-x√3)/4-1/2y=1

y=-x(√3/2)-2

1. Equazione canonica dell'ellisse

x²/a²+y²/b²=1

con fuochi sull'asse delle x ⇒ a>b

in tal caso c²=a²-b²

Dai dati possiamo formare un sistema di 3 equazioni nelle incognite a,b,c

{e²=c²/a²=3/4

{c²=a²-b²

{2(a+b)=6

che ha per soluzione possibile (b>0;c>0, fuochi sull'asse delle x)

a=2 ∧ b=1 per cui a²=4 ∧ b²=1



L'ellisse è così x²/4+y²=1



2. Calcoliamo le coordinate di P(xp,yp) con xp²=3 determinando yp

yp²=1-3/4=1/4

I punti sono 4

P₁(√3,√2/2) nel 1° quadrante

P₂(-√3,√2/2) nel 2° quadrante

P₃(√3,√2/2) nel 3° quadrante

P₄(√3,√2/2) nel 4° quadrante

Scegliamo il primo quadrante.

2.1 retta tangente a P₁(√3,√2/2)

Usiamo le Formule di sdoppiamento

L’equazione della retta tangente ad una conica in un suo punto P(x₀,y₀) si ottiene dall’equazione canonica della conica eseguendo le seguenti trasformazioni:

x²→ x*x₀ x→ (x+x₀)/2 xy→ (y₀x+x₀y)/2

y²→ y*y₀ y→ (y+y₀)/2

Nel nostro caso

x*√3/4+y*√2/2=1

√3x+2√2y=4

√3x+2√2y-4=0



Analogamente per le altre.

SCRIVI COSI' MALE CHE NON SONO SICURO DELL'INTERPRETAZIONE.



A) "ellisse Γ con fuochi su x" vuol dire "Γ(a, b, w) ≡ ((x - w)/a)^2 + (y/b)^2 = 1" cioè

* centro C(w, 0)

* semiassi (a, b)

* a > b perché i fuochi sono sull'asse maggiore

* semidistanza focale c = √(a^2 - b^2)



B) "somma assi =6" vuol dire "2*(a + b) = 6"



C) "eccentricità^2= 3/4" vuol dire "e = c/a = √(3/4) ~= 0.866", cioè

* b = a*√(1 - e^2) = a*√(1 - 3/4) = a/2

https://it.wikipedia.org/wiki/Eccentricit%C3%A0_(matematica)#Ellisse

quindi

* (2*(a + b) = 6) & (b = a/2) ≡ (a, b) = (2, 1)

e

* Γ(w) ≡ ((x - w)/2)^2 + y^2 = 1

con pendenza

* m(x, y) = (w - x)/(4*y)



D) "eq della tangente in P ( Xp^2=3 ; Yp )" vuol dire parecchie cose.

D1) "Xp^2=3" vuol dire anzitutto "xP = ± √3" e poi

* "((√3 - w)/2)^2 + y^2 = 1 ≡ yP = ± √(- w^2 + (2*√3)*w + 1)/2"

oppure

* "((- √3 - w)/2)^2 + y^2 = 1 ≡ yP = ± √(- w^2 - (2*√3)*w + 1)/2"



Affinché i quattro P(± √3, yP) siano reali (per potervi tracciare le tangenti) occorre che sia

* ((- w^2 + (2*√3) w + 1) >= 0) & ((- w^2 - (2*√3) w + 1) >= 0) ≡

≡ √3 - 2 ~= - 0.27 <= w <= 2 - √3 ~= 0.27



D2) Per il punto P(u, v) passano tutte e sole le rette:

* x = u, parallela all'asse y;

* y = k*(x - u) + v, per ogni pendenza k reale.



Se P(u, v) è su Γ(w), allora

* nei vertici dell'asse minore (w, ± 1) le tangenti sono y = ± 1;

* nei vertici dell'asse maggiore (w ± 2, 0) le tangenti sono x = w ± 2;

* in un punto P(u, v) non di vertice la tangente è

** y = ((w - u)/(4*v))*(x - u) + v



DEVI DECIDERE TU

* l'ascissa "x" del centro

* di quale dei quattro possibili P(± √3, yP) t'interessa la tangente

e poi puoi sostituire i valori al posto dei nomi (u, v, w).



Lo sai che Y!A ti dà 3 punti se scegli una "Miglior risposta"? Se puoi, scegli questa!

v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita-lo-spareggio-scegli-la-miglior-risposta/