Se C è piu vicino ad A, allora il trapezio isoscele è ABDC.
Poni CD = 2x., con le condizioni 0 <= 2x <= 2r, cioè 0 <= x <= r
Indica con OH la perpendicolare a CD condotta da O, allora si ha
CH = HD = x
Indica con CK l'altezza del trapezio isoscele, pvviamente risulta
OH = CK
CH = KO = x
Considera il triangolo rettangolo CKO, si ha
OC = r
KO = x
applicando pitagora si ha
CK^2 = OC^2 - KO^2 = r^2 - x^2
Considera il triangolo rettangolo CKA, si ha
AK = AO - KO = r - x
applicando pitagora si ha
AC^2 = AK^2 + CK^2 = (r - x)^2 + (r^2 - x^2) = r^2 - 2rx + x^2 + r^2 - x^2 = 2r^2 - 2rx
Quindi
AB^2 = (2r)^2 = 4r^2
AC^2 = BD^2 = 2r^2 - 2rx
CD^2 = (2x)^2 = 4x^2
per ipotesi si ha
AB^2 + AC^2 + BD^2 + CD^2 = (15/2)*r^2
sostituendo
4r^2 + (2r^2 - 2rx) + (2r^2 - 2rx) + 4x^2 = (15/2)*r^2
4r^2 + 2r^2 - 2rx + 2r^2 - 2rx + 4x^2 = (15/2)*r^2
8r^2 - 4rx + 4x^2 = (15/2)*r^2
mcm = 2
16r^2 - 8rx + 8x^2 = 15r^2
8x^2 - 8rx + r^2 = 0
le radici di questa equazione sono
x = [4r - √(16r^2 - 8r^2)]/8 = [4r - 2r√2]/8 = r(2 - √2)/4
x = [4r + √(16r^2 - 8r^2)]/8 = [4r + 2r√2]/8 = r(2 + √2)/4