1)

No, non basta l'uguaglianza del limite destro con quello sinistro. Quando questo avviene ma la funzione in quel punto non esiste siamo di fronte ad una discontinuità di terza specie, trascurabile, ma comunque è una discontinuità.



2)

Non puoi dimostrare che in un generico intervallo aperto e limitato, o anche chiuso e limitato, (a, b) la funzione sia continua e derivabile, in quanto questi aspetti dipendono dalla funzione e dagli intervalli. Al massimo puoi verificarlo.

Devi calcolare il Campo di Esistenza della funzione e verificare che in tutto l'intervallo non ci sono valori esclusi nel Campo: se questo avviene, la funzione è continua in tutto l'intervallo.

Fai la stessa cosa con la derivata: se non c'è nemmeno un valore dell'intervallo escluso dal C.E. della derivata, la funzione è derivabile in tutto l'intervallo.

Facciamo un'esempio molto semplice.

Il Dominio della funzione y= √x è D= [0; +∞): voglio verificare che la funzione sia continua e derivabile in [0; 3]. Il Dominio esclude qualunque valore negativo di x, ma poichè nell'intervallo ci sono solo valori positivi, al più con zero, la funzione è continua in tutto l'intervallo.

Invece, il Dominio della derivata, che è y= 1/(2√x), è D= (0; +∞): il valore x= 0 è escluso.

Pertanto la funzione nell'intervallo è continua ma non derivabile.



3)

Come ti dicevo prima, se la funzione non è definita in un punto ma il limite destro coincide con quello sinistro la discontinuità è di terza specie. Questa discontinuità è detta anche "discontinuità eliminabile", perchè, essendo un solo punto molto piccolo, nel grafico quasi non si vede. Ed è possibile dire che la funzione è prolungabile con continuità in x= 0, a patto che i limiti da destra e da sinistra esistano, siano finiti e coincidano.

Per esempio, y= 1/x è discontinua in x= 0, e lo è innegabilmente, dal grafico non è possibile dire che non sia così, visto che a destra la funzione sale e a sinistra scende.

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Io so che una funzione è continua in un punto xo se i limiti per xo da destra e da sinistra di f(x) sono uguali fra loro e al contempo uguali alla f calcolata in xo. Cioè

Lim x->xo- f(x) = lim x->xo+ f(x) = f(xo)

È giusto? Perché a volte ho letto che basta l uguaglianza dei limiti, senza che siano uguali anche a f(xo).

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la definizione di continuità:

«Una funzione è continua in un punto se ivi coincidono il valore ( ovviamente finito, infinito NON è un numero) ed il limite»



E' ovvio poi che se esiste il limite finito nel punto esistono anche il lim sx e dx e sono uguali.



Se il limite nel punto e la funzione hanno valore diverso si può DEFINIRE una nuova funzione identica alla prima escluso in quel punto dove invece le si dà il valore del limite.



Tale NUOVA funzione è continua perchè soddisfa alla definizione di continuità ; è questo il senso della locuzione «prolungabile per continuità», o di altre parti dove si dice che "non ci interessa il valore nel punto".



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Inoltre so che una funzione è derivabile in un punto se il limite destro e sinistro del rapporto incrementale sono entrambi uguali ad un numero finito.

Lim h->0- (f(xo + h) - f(xo)) / h = Lim h->0+ (f(xo + h) - f(xo)) / h

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La definizione di derivabilità consiste "nell'esistenza del limite del rapporto incrementale nel punto" ( come prima con simili osservazioni a dx e ad sx).



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Il problema si presenta quando devo dimostrare continuità e derivabilità in un INTERVALLO.

per esempio devo dimostrare che f(x) sia continua e derivabile in (a,b) aperto. Come faccio? Me lo potete spiegare facendo magari qualche esempio?

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Se dimostri ( in pratica verifichi l'esistenza della derivata) che la funzione è derivabile sarà sicuramente anche continua , ma non viceversa.



La continuità non garantisce la derivabilità , pensa alle cuspidi che hanno tangenti diverse ( e quindi derivate diverse) a sx e a dx etc



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Altra domanda: se io so che f(x) è definita per ogni x appartenente ad |R tranne 0 , per dire che essa è prolungabile con continuità in x=0 cosa devo fare? Io so che devono coincidere il limite destro e sinistro del limite per x-> 0 di f(x). È giusto? Perché su altri libri ho trovàto che basta solo l uguaglianza dei limiti, su altri che i limiti devono essere uguali anche a f(0) e su altri ancora che devono essere diversi da f(0).

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0 è un punto come gli altri vale quanto già detto sulla prolungabilità





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x/x ESISTE anche nel punto 0 , è solo « indeterminata»

per dire che una funzione e' continua in un punto devi accertarti che:

-esistano finiti i limiti destro e sinistro in quel punto

-la funzione esiste in quel punto ed e' uguale ai limiti sinistro e destro.



per la continuita' e derivabilita' in un intervallo devi fare un passaggio in piu'.

devi calcolare i limiti in funzione di x e verificare che la funzione sia continua per qualunque x appartenente all'intervallo. poi calcoli la derivata sempre in funzione di x e verificare che la derivata sia sempre continua in tutto l'intervallo.

per esempio:

funzione f(x) = x^2, la derivata e' 2x. visto che la funzione e la sua derivata sono continue in tutto R allora la funzione e' continua e derivabile in tutto R.

funzione sign(x), che vale 1 se x e' positivo e -1 se x e' negativo. non e' continua in R perche' in 0 il limite destro vale 1 e quello sinistro vale -1

funzione abs(x), il valore assoluto di x. e' continua ma non derivabile in R perche' la derivata non e' continua.la derivata in 0+ vale 1 e in 0- vale -1.



la funzione e' prolungabile con continuita' in un punto se esistono i limiti destro e sinistro di quel punto. la funzione in quel punto puo' assumere qualunque valore o anche non esistere.

esempio:



la funzione x/x vale sempre 1 tranne per x=0, in quel caso non esiste perche' hai una divisione per 0. in 0 pero' il limite destro e sinistro valgono 1, quindi la funzione e' prolungabile con continuita'.

1. Io so che una funzione è continua in un punto xo se i limiti per xo da destra e da sinistra di f(x) sono uguali fra loro e al contempo uguali alla f calcolata in xo. Cioè

Lim x->xo- f(x) = lim x->xo+ f(x) = f(xo)

È giusto?

SI é GIUSTO.



2. Perché a volte ho letto che basta l uguaglianza dei limiti, senza che siano uguali anche a f(xo).

FALSO.

considera la funzione f(x)=1/|x| nel punto 0 i due limiti dx e sx coincidono è valgono +oo ma

f(0)=+oo è una scrittura priva di senso, quindi la funzione non è definibile nello zero.



3.Inoltre so che una funzione è derivabile in un punto se il limite destro e sinistro del rapporto incrementale sono entrambi uguali ad un numero finito.

NON PROPRIO.

Devono essere finiti e uguali.

dire eguali ad un numero finito significa che D-(f(x)=3 e D+(f(x))=5 sono entrambi eguali ad un numero finito ma la derivata non esiste.



4. uando devo dimostrare continuità e derivabilità in un INTERVALLO...

Non è un problema da poco che è stato risolto brillantemente dai matematici. Per entrambe le proprietà si sono studiate sia la continuità che la derivabilità nell'intervallo di definizione delle funzioni elementari (polinomi, log, sinx etc) inoltre sono stati introdotti teoremi che dimostrano che la somma il prodotto la composizione etc. di funzioni continue/derivabili sono ancora continue /derivabili.

Con questi strumenti si arriva facilmente a dimostrare la continuità/derivabilità delle funzioni che si studiano a scuola.

Es. La funzione f(x)=sin(logx)+e^cosx è somma di composizioni di funzioni continue/derivabili nell'insieme di definizione (0;+oo)e quindi è continua/derivabile in (0;+oo)

Altra domanda. Si studia il tipo di discontinuità. Se e solo se la discontinuità è del 3° tipo (cioè eliminabile) allora la funzione è prolungabile nella funzione f*(x) così definita

{f*(x)=f(x) per x≠0

{f*(0)=lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=m∈R per x=0



E' ovvio che la condizione da soddisfare per essere uyna discontinuità del 3° tipo è proprio che

lim(x->0-)f(x)=lim(x->0+)f(x)=m∈R