Bisogna prima definire i minori. Data una matrice A nxm si chiama minore di ordina r una qualsiasi sottomatrice quadrata di ordine r ottenuta da A togliendo (n-r) righe e (m-r) colonne ad esempio data la matrice 2x3

1 2 3 4

2 1 1 0

i suoi minori di ordine 1 sono i singoli elementi della matrice 1,2,3,4,2,1,1,0

i suoi minori di ordine 2 si ottengono togliendo 2 colonne (4-2) e 0 righe (2-2) e sono i seguenti:

a)

1 2

2 1

b)

3 4

1 0

c)

2 3

1 1

d)

1 3

2 1

e)

2 4

1 0

f)

1 4

2 0

ovviamente non ci sono minori di ordine 3 perchè per definizione devono essere matrici quadrate.

Il rango della matrice è il massimo numero r per cui esiste un minore di A di ordine r con determinante diverso da zero.

E' ovvio che il rango è minore o uguale al minimo tra n e m

Nel nostro caso è sicuramente minore o uguale a 2, anzi osservando che il determinante di almeno uno dei minori di ordine due è diverso da zero il rango è uguale a due.

Data una matrice 3x3 il rango è minore o uguale a 3 ma se il determinante della matrice è uguale a zero allora sarà sicuramente minore o uguale a 2. Se anche il determinante della sottomatrice 2x2 è zero allora il rango è 1. Ovviamente se A=0 il rango è uguale a zero. Nel caso di una matrice di dimensione molto grande si procede con il metodo di Gauss riducendola la matrice data in una con abbastanza zeri da rendere semplice il calcolo del rango.

Sono perfettamente daccordo con quanto detto da Giovanni, è impensabile trovare il rango della matrice negli altri modi, senza andare molto lontano pensa a una matrice 4x6 e se questa è di rango 1 hai voglia a calcolare, peggio se è anke una piccole matrice 3x4 ma parametrica, e sicuramente farai anche questi esercizi, prova coi determinanti e non ne esci viva :) ho risposto solo perchè non posso dare una valutazione col pollice su, almeno per ora.

in rete trovi molte notizie sui metodi di riduzione per righe

http://www.apogeonline.com/libri/00896/allegati/studenti/files/Globale/cap02/Summary2.html

Il rango di una matrice è per definizione il massimo numero di colonne della matrice linearmente indipendenti (si dimostra che questo numero è uguale al massimo numero di righe linearmente indipendenti, per cui puoi indifferentemente guardare a quello che ti è più comodo). Se una colonna/riga è nulla o multiplo di un'altra allora il rango è strettamente minore del numero di righe, e questo già ti fa escludere certi valori.

Inoltre se la matrice è rettangolare, il rango è minore o uguale al più piccolo tra il numero delle righe e quello delle colonne.

Questo è vero indipendentemente dalle dimensioni della matrice, quindi vale anche per le matrici rettangolari (delle quali non si può calcolare il determinante).

Inoltre, il rango è uguale alla dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare rappresentata dalla matrice (nei caso in cui hai già questa informazione, sei a cavallo), segue dalla definizione.

Poichè il determinante è diverso da zero se e solo se le colonne/righe sono linearmente indipendenti, il rango è anche uguale all'ordine del più grande minore (una matrice quadrata fatta prendendo le intersezioni tra N righe e N colonne scelte come piace a te) che abbia determinante non nullo: i.e. se hai un minore di ordine N con determinante diverso da 0, e OGNI minore di ordine (N+1) ha determinante 0, allora il rango è N (anche il viceversa è vero).

Una matrice ha rango 0 se e solo se è la matrice nulla (tutte le entrate pari allo 0 del corpo)

Una matrice quadrata di ordine N ha rango N se e solo se ha determinante non nullo.



Per cui, ci sono diversi modi di calcolare il determinante, vedi quale ti è più semplice utilizzare di volta in volta.



Esempi:



| 1 2 4 |

| 1 2 4 |

| 1 2 4 |

| 1 2 4 | è una matrice 4x3, in cui la seconda e la terza riga sono multipli della prima: quelle le puoi eliminare, quindi il rango è 1.



| 2 -1 3 |

| 0 1 -1 |

| 1 -3 4 | è una matrice quadrata di ordine 3 con determinante nullo. Possiamo farlo in due modi: notando che la terza riga + la seconda fa la prima (quindi il rango è al più 3-1=2; inoltre la seconda non è multiplo della terza. Quindi il rango è 2); o notando che posso trovare un minore di ordine 2 con determinante diverso da 0 (scegliendo per esempio le righe 1 e 3, e le colonne 1 e 2, che danno la matrice

|2 -1|

|1 -3| con determinante 2(-3) - (-1)1= -5. Tutti i minori di ordine 2+1 [cioè la matrice stessa in questo caso] hanno invece determinante = 0)



Infine, c'è un ulteriore modo. Se, facendo solo operazioni elementari, riesci a ridurre la matrice nella forma

| 1 0 0 0 .... 0 |

| 0 1 0 0 .... 0 |

| 0 0 1 0 .... 0 |

| 0 0 0 0 .... 0 |

| .. .. .. .. .. ... |

| 0 0 0 0 .... 0 |

(cioè con tutti zeri tranne che nei posti (1,1), (2,2), ..., (r, r) [in questo caso r=3]), allora la matrice ha rango esattamente r (è vero anche il viceversa)

{n.b. le operazioni elementari sono: moltiplicare una riga [colonna] per un numero; sommare a una riga [colonna] un'altra riga [colonna]; scambiare di posto due righe [colonne]}

fai il determinante della matrice e se è diverso da zero la matrice avrà rango pari al numero delle sue righe o colonne(datoche il determinante si fa solo alle matrici quadrate) se è uguale a zero prendi tutte le sotto matrici di una riga e colonnna minore di quella originalee ne fai il determinante se questo è diverso da zero la matrice avrà rango pari alnumero di righe o colonna di questa sottomatrice altrimenti continui cn le matrici sempre più piccole

Guarda,spero di essere esaustivo ma al contempo breve.

Evita i determinanti, perchè vorrei chiedere a quei geniacci che ti hanno risposto così come fanno con una matrice 25x25.

Allora, devi ridurre la matrice per righe. Il rango è il numero di righe non nulle dellamatrice ridotta.

Per ridurre per righe puoi:

Sottrarre o aggiungere ad una riga alfa volte un'altra

dividere o moltiplicare una riga per uno scalare



Per quanto riguarda le matrici ridotte per righe,basta che cerchi in rete.

Spero di esserti stato utile.

P.s. lascia perdere i determinanti che per quello che servono a te sono solo una perdita di tempo, possono essere utili in altre situazione, non nella tua.

allora, devi calcolare il rango di una matrice quando il determinante della stessa è uguale a zero.



|1 2 -1|

|3 0 2|

|4 2 1|



ora, il det A= 0

quindi la matrice non ha rango =3. Vediamo se ha rango =2

calcolando il determinante del "primo quadrato" :

A= 1*0 - 3*2 = -6 che è diverso da zero.

la matrice ha quindi rango 2.