Valutiamo il rango della matrice incompleta; abbiamo che:
|1 . 1 . 1|
|1 .-k .1| = -2(k+1) = Δ
|-1 .k .1|
per cui, quando k = -1 il rango è 2, quando k ≠ -1 il rango è 3.
Ora è il turno della matrice completa; i determinanti delle altre tre sue sottomatrici sono:
|k . 1 . 1|
|-1.-k .1| = -(k-1)(k+1) = Δx
|k. .k .1|
|1 . k . 1|
|1. -1 .1| = -2(k+1) = Δy
|-1 .k .1|
|1 . 1 .k|
|1. -k -1| = -(k-1)(k+1) = Δz
|-1 k .k|
Considerando i valori dei quattro determinanti riportati, abbiamo che:
quando k = -1 sono tutti nulli e quindi il rango è 2; quando k ≠ -1 il rango è 3.
Applichiamo il teorema di Rouché-Capelli:
Per k = -1 i ranghi sono uguali tra loro e quindi il sistema è possibile; i ranghi valgono 2 e le incognite sono 3 e quindi si hanno oo^1 soluzioni, ottenibili eliminando la seconda equazione e considerando y come parametro:
{x+z=-1-y
{y = y
{-x+z=-1+y
sommando e sottraendo membro a membro:
{x = -y
{y = y
{z = -1.
Invece, per k ≠ -1, i due ranghi sono ancora uguali tra loro e i quindi il sistema è possibile, ma valgono 3, come il numero delle incognite, per cui il sistema è determinato (crameriano), con la soluzione:
{x = Δx / Δ = (k-1)/2
{y = Δy / Δ = 1
{z = Δz / Δ = (k+1)/2
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Il link: https://answersrip.com/question/index?qid=20100311013005AA2JnLr
non è rivolto a te personalmente ma è un consiglio che diamo noi del Patto per la Matematica (info nel mio profilo) affinché si possa rispondere al meglio.