Sia f : X → R una funzione definita e continua e iniettiva in un intervallo X di R.
Per quanto dimostrato in
http://it.answers.yahoo.com/question/?qid=20120426061248AApQVwi
sappiamo che f è crescente o decrescente.
1) f(X) è un intervallo di R
Sia α, β ∈ f(X) e sia α < γ < β; esistono a, b ∈ X tali che α = f(a), β = f(b); per il teorema di valori intermedi esiste c nell’intervallo di estremi a, b tale che γ = f(c) ∈ f(X).
2) Se X è aperto, allora f(X) è un intervallo aperto di R
Supponiamo per assurdo che f(X) non sia aperto.
Allora –∞ < inf f(X) ∈ f(X) oppure +∞ > sup f(X) ∈ f(X).
Nel primo caso esiste ξ ∈ X tale che f(ξ) = inf f(X); poiché X è aperto, esistono α, β ∈ X tali che α < ξ < β. Se f è crescente allora f(α) < f(ξ) = inf f(X), assurdo; se f decrescente allora f(β) < f(ξ) = inf f(X), assurdo.
Analogo ragionamento se +∞ > sup f(X) ∈ f(X).
ciao