3, 4, 5 - Primitiva

5, 12, 13 - Primitiva

6, 8, 10

7, 24, 25 - Primitiva

8, 15, 17 - Primitiva

9, 12, 15

9, 40, 41 - Primitiva

10, 24, 26

11, 60, 61 - Primitiva

12, 16, 20

12, 35, 37 - Primitiva

13, 84, 85 - Primitiva

14, 48, 50

15, 20, 25

15, 36, 39

15, 112, 113 - Primitiva

16, 30, 34

16, 63, 65 - Primitiva

17, 144, 145 - Primitiva

18, 24, 30

18, 80, 82

19, 180, 181 - Primitiva

20, 21, 29 - Primitiva

20, 48, 52

20, 99, 101 - Primitiva

21, 28, 35

21, 72, 75

21, 220, 221 - Primitiva

22, 120, 122

23, 264, 265 - Primitiva

24, 32, 40

24, 45, 51

24, 70, 74

24, 143, 145 - Primitiva

25, 60, 65

25, 312, 313 - Primitiva

26, 168, 170

27, 36, 45

27, 120, 123

27, 364, 365 - Primitiva

28, 45, 53 - Primitiva

28, 96, 100

28, 195, 197 - Primitiva

29, 420, 421 - Primitiva

30, 40, 50

30, 72, 78

30, 224, 226

31, 480, 481 - Primitiva

32, 60, 68

32, 126, 130

32, 255, 257 - Primitiva

33, 44, 55

33, 56, 65 - Primitiva

33, 180, 183

33, 544, 545 - Primitiva

34, 288, 290

35, 84, 91

35, 120, 125

35, 612, 613 - Primitiva

36, 48, 60

36, 77, 85 - Primitiva

36, 105, 111

36, 160, 164

36, 323, 325 - Primitiva

37, 684, 685 - Primitiva

38, 360, 362

39, 52, 65

39, 80, 89 - Primitiva

39, 252, 255

39, 760, 761 - Primitiva

40, 42, 58

40, 75, 85

40, 96, 104

40, 198, 202

40, 399, 401 - Primitiva

41, 840, 841 - Primitiva

42, 56, 70

42, 144, 150

42, 440, 442

43, 924, 925 - Primitiva

44, 117, 125 - Primitiva

44, 240, 244

44, 483, 485 - Primitiva

45, 60, 75

45, 108, 117

45, 200, 205

45, 336, 339

46, 528, 530

48, 55, 73 - Primitiva

48, 64, 80

48, 90, 102

48, 140, 148

48, 189, 195

48, 286, 290

48, 575, 577 - Primitiva

49, 168, 175

50, 120, 130

50, 624, 626

51, 68, 85

51, 140, 149 - Primitiva

51, 432, 435

52, 165, 173 - Primitiva

52, 336, 340

52, 675, 677 - Primitiva

54, 72, 90

54, 240, 246

54, 728, 730

55, 132, 143

55, 300, 305

56, 90, 106

56, 105, 119

56, 192, 200

56, 390, 394

56, 783, 785 - Primitiva

57, 76, 95

57, 176, 185 - Primitiva

57, 540, 543

58, 840, 842

60, 63, 87

60, 80, 100

60, 91, 109 - Primitiva

60, 144, 156

60, 175, 185

60, 221, 229 - Primitiva

60, 297, 303

60, 448, 452

60, 899, 901 - Primitiva

62, 960, 962

63, 84, 105

63, 216, 225

63, 280, 287

63, 660, 663

64, 120, 136

64, 252, 260

64, 510, 514

65, 72, 97 - Primitiva

65, 156, 169

65, 420, 425

66, 88, 110

66, 112, 130

66, 360, 366

68, 285, 293 - Primitiva

68, 576, 580

69, 92, 115

69, 260, 269 - Primitiva

69, 792, 795

70, 168, 182

70, 240, 250

72, 96, 120

72, 135, 153

72, 154, 170

72, 210, 222

72, 320, 328

72, 429, 435

72, 646, 650

75, 100, 125

75, 180, 195

75, 308, 317 - Primitiva

75, 560, 565

75, 936, 939

76, 357, 365 - Primitiva

76, 720, 724

77, 264, 275

77, 420, 427

78, 104, 130

78, 160, 178

78, 504, 510

80, 84, 116

80, 150, 170

80, 192, 208

80, 315, 325

80, 396, 404

80, 798, 802

81, 108, 135

81, 360, 369

84, 112, 140

84, 135, 159

84, 187, 205 - Primitiva

84, 245, 259

84, 288, 300

84, 437, 445 - Primitiva

84, 585, 591

84, 880, 884

85, 132, 157 - Primitiva

85, 204, 221

85, 720, 725

87, 116, 145

87, 416, 425 - Primitiva

88, 105, 137 - Primitiva

88, 165, 187

88, 234, 250

88, 480, 488

88, 966, 970

90, 120, 150

90, 216, 234

90, 400, 410

90, 672, 678

91, 312, 325

91, 588, 595

92, 525, 533 - Primitiva

93, 124, 155

93, 476, 485 - Primitiva

95, 168, 193 - Primitiva

95, 228, 247

95, 900, 905

96, 110, 146

96, 128, 160

96, 180, 204

96, 247, 265 - Primitiva

96, 280, 296

96, 378, 390

96, 572, 580

96, 765, 771

98, 336, 350

99, 132, 165

99, 168, 195

99, 440, 451

99, 540, 549

100, 105, 145

100, 240, 260

100, 495, 505

100, 621, 629 - Primitiva

102, 136, 170

102, 280, 298

102, 864, 870

104, 153, 185 - Primitiva

104, 195, 221

104, 330, 346

104, 672, 680

105, 140, 175

105, 208, 233 - Primitiva

105, 252, 273

105, 360, 375

105, 608, 617 - Primitiva

105, 784, 791

108, 144, 180

108, 231, 255

108, 315, 333

108, 480, 492

108, 725, 733 - Primitiva

108, 969, 975

110, 264, 286

110, 600, 610

111, 148, 185

111, 680, 689 - Primitiva

112, 180, 212

112, 210, 238

112, 384, 400

112, 441, 455

112, 780, 788

114, 152, 190

114, 352, 370

115, 252, 277 - Primitiva

115, 276, 299

116, 837, 845 - Primitiva

117, 156, 195

117, 240, 267

117, 520, 533

117, 756, 765

119, 120, 169 - Primitiva

119, 408, 425

120, 126, 174

120, 160, 200

120, 182, 218

120, 209, 241 - Primitiva

120, 225, 255

120, 288, 312

120, 350, 370

120, 391, 409 - Primitiva

120, 442, 458

120, 594, 606

120, 715, 725

120, 896, 904

121, 660, 671

123, 164, 205

123, 836, 845 - Primitiva

124, 957, 965 - Primitiva

125, 300, 325

126, 168, 210

126, 432, 450

126, 560, 574

128, 240, 272

128, 504, 520

129, 172, 215

129, 920, 929 - Primitiva

130, 144, 194

130, 312, 338

130, 840, 850

132, 176, 220

132, 224, 260

132, 351, 375

132, 385, 407

132, 475, 493 - Primitiva

132, 720, 732

133, 156, 205 - Primitiva

133, 456, 475

135, 180, 225

135, 324, 351

135, 352, 377 - Primitiva

135, 600, 615

136, 255, 289

136, 273, 305 - Primitiva

136, 570, 586

138, 184, 230

138, 520, 538

140, 147, 203

140, 171, 221 - Primitiva

140, 225, 265

140, 336, 364

140, 480, 500

140, 693, 707

140, 975, 985

141, 188, 235

143, 780, 793

143, 924, 935

144, 165, 219

144, 192, 240

144, 270, 306

144, 308, 340

144, 420, 444

144, 567, 585

144, 640, 656

144, 858, 870

145, 348, 377

145, 408, 433 - Primitiva

147, 196, 245

147, 504, 525

150, 200, 250

150, 360, 390

150, 616, 634

152, 285, 323

152, 345, 377 - Primitiva

152, 714, 730

153, 204, 255

153, 420, 447

153, 680, 697

154, 528, 550

154, 840, 854

155, 372, 403

155, 468, 493 - Primitiva

156, 208, 260

156, 320, 356

156, 455, 481

156, 495, 519

156, 667, 685 - Primitiva

159, 212, 265

160, 168, 232

160, 231, 281 - Primitiva

160, 300, 340

160, 384, 416

160, 630, 650

160, 792, 808

161, 240, 289 - Primitiva

161, 552, 575

162, 216, 270

162, 720, 738

165, 220, 275

165, 280, 325

165, 396, 429

165, 532, 557 - Primitiva

165, 900, 915

168, 224, 280

168, 270, 318

168, 315, 357

168, 374, 410

168, 425, 457 - Primitiva

168, 490, 518

168, 576, 600

168, 775, 793 - Primitiva

168, 874, 890

170, 264, 314

170, 408, 442

171, 228, 285

171, 528, 555

171, 760, 779

174, 232, 290

174, 832, 850

175, 288, 337 - Primitiva

175, 420, 455

175, 600, 625

176, 210, 274

176, 330, 374

176, 468, 500

176, 693, 715

176, 960, 976

177, 236, 295

180, 189, 261

180, 240, 300

180, 273, 327

180, 299, 349 - Primitiva

180, 385, 425

180, 432, 468

180, 525, 555

180, 663, 687

180, 800, 820

180, 891, 909

182, 624, 650

183, 244, 305

184, 345, 391

184, 513, 545 - Primitiva

185, 444, 481

185, 672, 697 - Primitiva

186, 248, 310

186, 952, 970

189, 252, 315

189, 340, 389 - Primitiva

189, 648, 675

189, 840, 861

190, 336, 386

190, 456, 494

192, 220, 292

192, 256, 320

192, 360, 408

192, 494, 530

192, 560, 592

192, 756, 780

195, 216, 291

195, 260, 325

195, 400, 445

195, 468, 507

195, 748, 773 - Primitiva

196, 315, 371

196, 672, 700

198, 264, 330

198, 336, 390

198, 880, 902

200, 210, 290

200, 375, 425

200, 480, 520

200, 609, 641 - Primitiva

200, 990, 1010

201, 268, 335

203, 396, 445 - Primitiva

203, 696, 725

204, 253, 325 - Primitiva

204, 272, 340

204, 560, 596

204, 595, 629

204, 855, 879

205, 492, 533

205, 828, 853 - Primitiva

207, 224, 305 - Primitiva

207, 276, 345

207, 780, 807

207, 920, 943

208, 306, 370

208, 390, 442

208, 660, 692

208, 819, 845

210, 280, 350

210, 416, 466

210, 504, 546

210, 720, 750

213, 284, 355

215, 516, 559

215, 912, 937 - Primitiva

216, 288, 360

216, 405, 459

216, 462, 510

216, 630, 666

216, 713, 745 - Primitiva

216, 960, 984

217, 456, 505 - Primitiva

217, 744, 775

219, 292, 365

220, 231, 319

220, 459, 509 - Primitiva

220, 528, 572

220, 585, 625

222, 296, 370

224, 360, 424

224, 420, 476

224, 768, 800

224, 882, 910

225, 272, 353 - Primitiva

225, 300, 375

225, 540, 585

225, 924, 951

225, 1000, 1025

228, 304, 380

228, 325, 397 - Primitiva

228, 665, 703

228, 704, 740

230, 504, 554

230, 552, 598

231, 308, 385

231, 392, 455

231, 520, 569 - Primitiva

231, 792, 825

232, 435, 493

232, 825, 857 - Primitiva

234, 312, 390

234, 480, 534

235, 564, 611

237, 316, 395

238, 240, 338

238, 816, 850

240, 252, 348

240, 275, 365

240, 320, 400

240, 364, 436

240, 418, 482

240, 450, 510

240, 551, 601 - Primitiva

240, 576, 624

240, 700, 740

240, 782, 818

240, 884, 916

240, 945, 975

243, 324, 405

245, 588, 637

245, 840, 875

246, 328, 410

248, 465, 527

248, 945, 977 - Primitiva

249, 332, 415

250, 600, 650

252, 275, 373 - Primitiva

252, 336, 420

252, 405, 477

252, 539, 595

252, 561, 615

252, 735, 777

252, 864, 900

255, 340, 425

255, 396, 471

255, 612, 663

255, 700, 745

256, 480, 544

258, 344, 430

259, 660, 709 - Primitiva

259, 888, 925

260, 273, 377

260, 288, 388

260, 624, 676

260, 651, 701 - Primitiva

260, 825, 865

261, 348, 435

261, 380, 461 - Primitiva

264, 315, 411

264, 352, 440

264, 448, 520

264, 495, 561

264, 702, 750

264, 770, 814

264, 950, 986

265, 636, 689

266, 312, 410

266, 912, 950

267, 356, 445

270, 360, 450

270, 648, 702

270, 704, 754

272, 510, 578

272, 546, 610

273, 364, 455

273, 560, 623

273, 736, 785 - Primitiva

273, 936, 975

275, 660, 715

276, 368, 460

276, 493, 565 - Primitiva

276, 805, 851

279, 372, 465

279, 440, 521 - Primitiva

280, 294, 406

280, 342, 442

280, 351, 449 - Primitiva

280, 450, 530

280, 525, 595

280, 672, 728

280, 759, 809 - Primitiva

280, 960, 1000

282, 376, 470

285, 380, 475

285, 504, 579

285, 684, 741

285, 880, 925

287, 816, 865 - Primitiva

287, 984, 1025

288, 330, 438

288, 384, 480

288, 540, 612

288, 616, 680

288, 741, 795

288, 840, 888

290, 696, 754

290, 816, 866

291, 388, 485

294, 392, 490

295, 708, 767

296, 555, 629

297, 304, 425 -

Ciao BOMBAT, senza entrare nelle dotte spiegazioni degli altri amici di ANSWERS ti dò una regola pratica e facile:

Partendo dalla più classica terna pitagorica, 3 - 4 - 5

OGNI ALTRA TERNA SI PUO' OTTENERE DA QUESTA MOLTIPLICANDO I TRE NUMERI PER UN QUALSIASI FATTORE intero o fratto, bello o brutto, femmina o maschio, di destra o di sinistra (forse sto andando troppo a ruota libera).

Esempi: per 1/2 ottieni: 1,5 - 2 - 2,5 (prova)

per 2/3 ottieni: 2 - 8/3 - 10/3 (prova)

per V5 (radice di 5) ottieni: 2V5 - 3V5 - 5V5



ecc. ecc. ecc. ti basta?

Ciaoooooooooooooooooooooooooo

voglio cercare le terne pitagoriche aventi l'elemento cateto = 12

x2+144=y2



y=(x+q)

x2+144=(x+q)2

144=2qx+q2

x=(144-q2)/(2q)



pertanto

2q è divisore di 144-q2



caso 1

2 divide q.... ovvero q è pari.

se 2 divide q allora anche 2q divide q2

dunque 2q divide 144 in quanto q2 è multiplo di 2q

q divide 72

e si ricorda che q è pari

dunque q può essere il doppio di tutti i divisori di 36

+-2

+-4

+-6

+-8

+-12

+-18

+-24

+-36

+-72



caso 2

q è dispari

dunque 2 divide q-1 e quindi 2q divide q2-q

il che vuol dire che se

2q divide 144-q2

allora

2q divide 144-q



k=(144-q)/(2q) è intero

q=144/(2k+1) è intero e dispari

il problema è che un numero pari diviso un numero dispari (2k+1) mai darà un numero dispari e quindi il caso 2 non fornirà risultati nel nostro caso.



dunque ci affidiamo ai risultati del caso 2

e ne ricaviamo i valori x secondo la relazione

x=(144-q^2)/(2q)

facilmente si dimostra che basta considerare la metà di modulo minore di tali valori in quanto l'altra metà fornirà uguale risultati



+-2

+-4

+-6

+-8

+-12

rispettivamente danno per valori x

+-35

+-16

+-9

+-5

0



dunque le terne costruibili su 144 (come cateto) sono:

(12,5;13)

(12;9;15)

(12;16;20)

(12;35;37)

terna pitagorica è una terna di numeri naturali a, b, c tali che a2 + b2 = c2. Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica, e viceversa.



Le più "piccole" terne pitagoriche sono (3,4,5), (5,12,13), (6,8,10), (7,24,25).



Se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (da, db, dc), dove d è un numero naturale qualsiasi; il numero d è quindi un divisore comune dei tre numeri da, db, dc. Una terna pitagorica si dice primitiva se a, b e c non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelle descritte dalla corrispondente terna primitiva.



Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche; tali formule sono citate da Euclide (Ευκλείδης) nei suoi Elementi (τα Στοιχεία):



a = m^2-n^2\, ;\;\; b= 2mn\, ;\;\; c = m^2+n^2



Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se m e n sono coprimi ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia n che m sono dispari a, b e c sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi m > n, mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore.



Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di m e n.



Inoltre è facile dimostrare che il prodotto di a per b (dei due cateti) è sempre divisibile per 12, mentre il prodotto abc (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per 60. ( 60 = 3x4x5 )



Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con c<100:

( 3, 4, 5) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17)

( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)

(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)

(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)



Un buon punto di partenza per l'esplorazione delle terne pitagoriche è quello di riordinare l'equazione originale nella forma:



a2 = (c − b)(c + b)



È interessante notare che ci possono essere più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il primo esempio è con il 20, che è il più piccolo intero di due terne primitive: 20 21 29 e 20 99 101.



Al contrario, il numero 1229779565176982820 è il minore intero in esattamente 15386 terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:



1229779565176982820

1230126649417435981

1739416382736996181



e



1229779565176982820

378089444731722233953867379643788099

378089444731722233953867379643788101.



Per i curiosi, si consideri la fattorizzazione:



1229779565176982820 = 22 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47.



Il numero di fattori primi è collegato alla gran quantità di triple pitagoriche primitive. Si noti che ci sono interi più grandi che sono gli interi più piccoli di un numero ancora più grande di terne primitive.



L'ultimo teorema di Fermat dice che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di 2 (cioè che l'equazione an = bn + cn non ammette soluzione per n > 2; a parte, come detto, i casi banali per cui a, b e c hanno un divisore in comune e quelli ancor più banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).

Prendendo due numeri interi m e n, con m>n, calcoli:

a=m²-n²

b=2*m*n

c=m²+n²

I tre numeri a, b e c formano una terna pitagorica.

Non lo so però alcune terne sono:

( 3, 4, 5) ( 5, 12, 13) ( 7, 24, 25) ( 8, 15, 17)

( 9, 40, 41) (11, 60, 61) (12, 35, 37) (13, 84, 85)

(16, 63, 65) (20, 21, 29) (28, 45, 53) (33, 56, 65)

(36, 77, 85) (39, 80, 89) (48, 55, 73) (65, 72, 97)

Dato un numero d dispari la terna pitagorica generata è:

(d; d² +1 /2 ;d²-1 /2 )

Questa terna che è definita "terna primitiva di d(con d = qualsiasi dispari) può diventare derivata moltiplicando tutt'e tre i termini per uno stesso fattore.

Esempio:

d=19

(19;181;180)

ordiniamo

(19;180;181)

Moltiplichiamo per 25(per dire) e otteniamo una terna derivata

475;4500;4525



Un 'altra invece è:

dato un numero n = numero pari La terna generata è:

n

(n²+4)/4

(n²-4)/4

Se n è divisibile per 4 e per 2 la terna non è derivata

Se n è divisibile solo per 2 e altri fattori, la terna è derivata .



Esempio

n=16(multiplo contemporaneamente di 4 e 2)



16

65

63



Che non è una derivata da una primitiva



Se n=14(divisibile per 2 e non per 4)



14

50

48



Derivata di

7

25

24



Che sarebbe la primitiva di 7.

Ciao!