Metodo di sostituzione



Si esplicita un'incognita esprimendola in funzione delle altre (per esempio y − 2x = − 3 diventa y = 2x − 3)

in una delle equazioni del sistema e si elimina l'espressione così ottenuta nelle altre equazioni in luogo dell'incognita corrispondente. In questo modo l esparisce da tutte le equazioni eccetto la prima. Si applica iterativamente il metodo fino a giungere ad una equazione con una sola incognita; si calcola il valore di quest'ultima e si risale fino alla prima esplicitando via via i valori delle incognite calcolate.

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Ciao!



Il metodo della sostituzione in un sistema ad n equazioni, consiste nel scegliere un'equazione (consigliabile la più semplice) e ricavare un'incognita in funzione delle altre. Fatto questo, si sostituisce il valore ricavato nelle altre equazioni del sistema. Svolgi i calcoli, e ricavi le altre incognite allo stesso modo finchè non hai un valore numerico per una variabile.

Quando hai il valore, allora sostituisci nelle equazioni dove avevi ricavato la variabile in funzione delle altre e ottieni i valori numerici di tutte le variabili

Esempi:



{2x + 3y = 7

{x - 12y = -3



Ricavo x dalla seconda eq e sostituisco il valore nella seconda:



{2(12y - 3) + 3y = 7

{x = 12y - 3



Calcoli e ricavo y:



{24y - 6 + 3y = 7 → 27y = 13 → y = 13/27

{x = 12*13/27 - 3 → x = 52/9.



Sistema 3 equazioni 3 incognite:



{2x - y + 3z = 5

{x + 7y + 2z = 2

{x + y - z = 1



Esplicito x nella terza eq e sostituisco nelle altre 2:



{2(1-y+z) - y + 3z = 5 → -3y + 5z = 3

{(1-y+z) + 7y + 2z = 2 → 6y + 3z = 1

{ x = 1 - y + z



Ricavo z dalla seconda e sostituisco (sostituisco nella prima equazione, non nella terza, sennò diventa un processo infinito!):



{ -3y + 5 * (1/3 - 2y) = 3 → -13y = 3 - 5/3 → y = -4/39

{ z = (1 - 6y) / 3 = 1/3 - 2y

{ x = 1 - y + z



Ora, sostituendo y nella seconda, ottieni il valore di z. Infine, sostituendo y e z nella terza ottieni il valore di x e il sistema è risolto.

Ps. Esistono modi più veloci per risolvere un sistema che non sia 2x2 (2 equazioni e 2 incognite), questo esempio era giusto per mostrarti come usare la sostituzione in modo ciclico.



Spero ti sia chiaro, ciao!

Mettiamo il caso che abbiamo un sistema formato da due equazioni, che sono le seguenti:

2x-y+4=0

3x+y+2=0



Adesso ad esempio scegliamo la prima equazione e ricaviamo y:

y=2x+4



Sostituisci la soluzione della prima equazione nella seconda e otterrai ciò che segue:

3x+(2x+4)+2=0

5x+6=0



Adesso troviamo il valore x da questa equazione:

x = -6/5



Ora con lo stesso procedimento di prima calcola dalla prima equazione x e vai a sostituirla nella seconda equazione.

Calcola poi alla fine il valore y comune ad entrambe le equazioni.



Il metodo di sostituzione è un metodo che prevede di sostituire ad un equazione il risultato di un'altra equazione per cercare un valore comune ad entrambe.

Ciao, ecco un esempio con un tipico problema di numeri che si presta ad essere impostato come sistema di equazioni.



La somma di due numeri è 27, ed il loro rapporto è 4/5.

Trovare i due numeri.



Impostiamo allora le equazioni.

x + y = 27

x / y = 4/5

Risolviamo adesso il sistema, andando a fare la sostituzione.

x = 4/5 y

4/5 y + y = 27

Troviamo ora il valore di y.

4 y + 5 y = 135

9 y = 135

y = 135 / 9

y = 15

Troviamo adesso il valore di x.

x = 4/5 * 15

x = 15 / 5 * 4

x = 12



I numeri sono dunque: 12 e 15.



Secondo esempio.

La somma delle due cifre di un numero è 8.

Il numero a cifre invertite supera

di 10 il doppio del numero iniziale.

Trovare i due numeri.



Impostiamo questo sistema.



x + y = 8

x + 10 y = 10 + 2* (10 x+y)

x + 10 y = 10 + 20 x + 2 y

x -20 x + 10 y -2 y = 10

-19 x -8 y = 10

19 x +8 y = -10

Effettuiamo ora la sostituzione.

x = 8-y

19 (8 -y) +8 y = -10

19 y +8 y -152 = 10

19 y + 8 y =10 + 152

27 y = 162

y = 6

x = 8-y

x = 8-6

x=2



Il numero iniziale è 26; il numero invertito è 62.