Il problema chiede di determinare le tre equazioni di una retta, una parabola e una circonferenza in base alle seguenti informazioni.

1) Le tre curve hanno in comune i punti A(2, 2) e B(u, v).

2) La retta passa per il punto C(- 4, 0).

3) La circonferenza passa per il punto D(- 2, - 6).

4) La parabola ha il vertice nell'origine.

5) La parabola ha l'asse x per asse di simmetria.

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RISOLUZIONE

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A) In base ai dati 1 e 2 si vede che la retta ABC non può essere "x = 2", ma è

* r ≡ AC ≡ y = (x + 4)/3

quindi

* u != 2

* B(u, v) = (u, (u + 4)/3)

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B) Nell'equazione della circonferenza generica in forma normale standard

* Γ(a, b, q) ≡ (x - a)^2 + (y - b)^2 = q = r^2 > 0

ci sono tre parametri: raggio r (o q = r^2) e coordinate del centro C(a, b).

Determinare l'equazione vuol dire trovare i tre parametri (a, b, q).

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B1) Dai dati 1 e 3, con B(u, (u + 4)/3), si deducono i vincoli di passaggio

* per A(2, 2): (2 - a)^2 + (2 - b)^2 = q

* per D(- 2, - 6): (- 2 - a)^2 + (- 6 - b)^2 = q

* per B(u, (u + 4)/3): (u - a)^2 + ((u + 4)/3 - b)^2 = q

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B) La soluzione del sistema di tutti i vincoli

* ((2 - a)^2 + (2 - b)^2 = q) & ((- 2 - a)^2 + (- 6 - b)^2 = q) & ((u - a)^2 + ((u + 4)/3 - b)^2 = q) & (u != 2) & (q > 0) ≡

≡ (a = 2*(u + 4)/3) & (b = - (u + 10)/3) & (q = 5*(u^2 + 8*u + 52)/9)

riduce i parametri da tre a uno

* Γ(u) ≡ (x - 2*(u + 4)/3)^2 + (y + (u + 10)/3)^2 = 5*(u^2 + 8*u + 52)/9

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C) Ogni parabola con:

* asse parallelo all'asse x;

* apertura a != 0;

* vertice V(w, h);

ha equazione di forma

* Γ(a, w, h) ≡ x = a*(y - h)^2 + w

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C1) Dai dati 4 e 5 si deduce che

* vertice V(w, h) = (0, 0)

* Γ(a) ≡ x = a*y^2

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C2) La condizione di passare per A(2, 2) impone un vincolo da cui si ricava l'apertura della parabola

* 2 = a*2^2 ≡ a = 1/2

e quindi l'equazione

* Γ ≡ x = y^2/2

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C3) La condizione di passare per B(u, (u + 4)/3) consente di ricavare l'ultima indeterminata rimasta

* u = ((u + 4)/3)^2/2 ≡ u = 5 ± 3 ≡ (u = 2) oppure (u = 8) ≡ u = 8

avendo escluso, al punto A, la possibilità di "u = 2".

Da cui la circonferenza

* Γ(8) ≡ (x - 2*(8 + 4)/3)^2 + (y + (8 + 10)/3)^2 = 5*(8^2 + 8*8 + 52)/9 ≡

≡ (x - 8)^2 + (y + 6)^2 = 100 = 10^2

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CONCLUSIONE

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Le curve trovate risultano essere

* retta: y = (x + 4)/3

* parabola: x = y^2/2

* circonferenza: (x - 8)^2 + (y + 6)^2 = 100

Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D(x%2B4)%2F3,x%3Dy%5E2%2F2,(x-8)%5E2%2B(y%2B6)%5E2%3D100%5D