Domanda:
Domanda sugli zeri di una funzione analitica?
anonymous
2020-05-18 09:38:54 UTC
f(z) = (z^2)*(sinz)*(sinhz)
z=0 è uno zero di f. Devo determinarne l'ordine.
noto che f(0) = 0, f '(0) = 0, f ''(0) = 0, f '''(0) = 0, mentra la derivata di ordine 4 in 0 è diversa da zero, quindi z=0  è uno zero di ordine 4.
Ovviamente ho dovuto fare parecchi calcoli per le derivate.
Mi chiedevo se esistesse una relazione tra l'ordine di uno zero e la molteplicità di tale zero come radice dell'equazione f(z) = 0. In questo modo, vedendo che 0 annulla f(z) quattro volte allora posso dire che è uno zero di ordine 4, senza fare quindi tutto il calcole delle derivate.
Quattro risposte:
cmcsafe
2020-05-18 10:35:07 UTC
Per evitare il calcolo delle derivate è sufficiente procurarsi lo sviluppo di Taylor

https://www.wolframalpha.com/input/?i=taylor+series++%28z%5E2%29*%28sinz%29*%28sinhz%29



che si può ottenere applicando il prodotto alla Cauchy degli sviluppi dei singoli fattori che sono delle funzioni elementari.

Dallo sviluppo del polinomio si nota che il primo termine è z⁴ per cui

i primi 4 termini sono nulli, cioè  f(0) = 0, f '(0) = 0, f ''(0) = 0, f '''(0) = 0.
Sergio
2020-05-18 11:52:35 UTC
Sosmatematica... fa un raspone
?
2020-05-18 11:33:06 UTC
E certo, sono la stessa cosa! Ma come vorresti vedere l'ordine dello zero senza considerare le derivate?



P.S. Che dovrei dire io che ad un parziale mi sono trovato da calcolare il residuo in un polo di ordine 5? XD Il bello è che pure gli altri esercizi non scherzavano, per esempio c'era lo studio di un quoziente topologico. Uscimmo dopo l'orario di chiusura, coi neuroni che si rifiutavano di lavorare oltre.
SosMatematica.it
2020-05-18 10:15:01 UTC
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