Ciao. Non ho capito che cosa tu debba calcolare. Occhio e croce devi trovare con il criterio del rapporto la convergenza della serie:



Σ (2n)!/(n!)^2



[nota la parentesi al numeratore]

Il passaggio che fai è corretto:



lim (n->oo) [ (2n+2)!/[(n+1)!]^2 ] / [ (2n)!/(n!)^2 ]



L'unica cosa che devi sapere è:



(n+m)! / n! = (n + m) (n + m -1) (n + m -2) ... (n + 1)



Lo vedi facilmente, scrivendoti i due fattoriali e semplificando i termini comuni.

Così ad esempio:



(2n + 2)! / (2n) ! = (2n + 2) (2n + 1)



Così trovi:



lim =

= lim [ (2n+2)! . (n!)^2 ] / [ ( (n+1)! )^2 . (2n)! ] =

= lim [(2n + 2)! / (2n)! ]. [(n!)^2 / ( (n+1)! )^2 ] =

= lim (2n + 2) (2n + 1) . [n! / (n+1)! ]^2 =

= lim (2n + 2) (2n + 1) . ( 1 / (n+1) ) ^ 2 =

= lim (2n + 2) (2n + 1) / (n + 1)^2 =

= lim [ (2n + 2)/(n + 1) ] . [(2n + 1) / (n + 1)]



Ciascuna delle due quadre, per n tendente ad infinito, tende evidentemente a 2. Quindi il limite complessivo viene 2.2 = 4



Il criterio del rapporto ti dice che la serie non converge.



Nota comunque che già la successione (2n)!/(n!)^2 è divergente, quindi sarà improbabile che la serie converga...



Ciao!



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Per avere la maggiore probabilità di ottenere ottime risposte, imposta la domanda come indicato qui:

https://answersrip.com/question/index?qid=20100311013005AA2JnLr

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@zioachille

Penso che ci voglia la parentesi al numeratore. Guarda come ha scritto il termine A(n+1), mettendoci (2n + 2)! ...

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Se la successione è

2 (n!) / (n!)²

come hai scritto tu, la semplifichi subito:

= 2/n!

Ed è chiaro che la successione tende a zero e la serie è super convergente. Tende a

lim sum(2/n!) = 2e

Se invece si tratta di

(2n)! / (n!)²

Il quadrato al denominatore non ci fa un baffo. Pensa: se sviluppi numeratore e denominatore hai 2n moltiplicandi sia sopra che sotto, ma quelli sopra sono per metà maggiori di quelli sotto.

La successione ha un andamento fortemente divergente

[cfr qui] : http://www.wolframalpha.com/input/?i=(2n)!/(n!)^2

e conseguentemente anche la serie associata.

Il limite per il criterio del confronto è:

lim A(n+1)/A(n) = 4

come suggerito dall'utente.



Ciao!

Immagino che stai studiando una serie numerica.

Cmq t assicuro che il risultato che hai messo tu è errato xkè questo limite fa zero, e ti spiego anche il perchè:



applicando il criterio del rapporto si ha che bisogna fare il limite per n che tende ad infinito di An+1 / An



An+1= 2(n+1)! / [(n+1)!]^2





2(n+1)! si sviluppa proprio per definizione di fattoriale in questo modo:



2(n+1)!= 2 (n+1) (n+1-1) (n+1-2) (n+1-3) ...... = 2(n+1) n (n-1) (n-2).....



osservando bene si può vedere che 2(n+1)! = 2(n+1)n!

infatti n!= n (n-1) (n-2)....



quindi nel tuo caso quando devi semplificare 2(n+1)! con 2n!, ti rimane solo (n+1)



stesso discorso per [(n+1)!]^2



[(n+1)!]^2 = [(n+1) (n+1-1) (n+1-2) (n+1-3)....]^2 = [(n+1) n (n-1) (n-2)....]^2 =



= (n+1)^2 n^2 (n-1)^2 (n-2)^2.....



si può notare che



(n!)^2 = [n (n-1) (n-2)....]^2 = n^2 (n-1)^2 (n-2)^2.....



quindi tra [(n+1)!]^2 ed (n!)^2 rimane (n+1)^2



in definitiva il limite da risolvere dopo la semplificazione è questo



(n+1)

----------

(n+1)^2



ovvero



1

------

n+1



che per n che tende ad infinito fa zero.

quindi per il criterio del rapporto questa serie converge perchè il limite risulta minore di 1



Spero d essere stato più chiaro possibile, in caso contrario sono disponibile per ulteriori chiarimenti



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prete



può darsi che sulle parentesi abbia ragione tu, ma ti assicuro che a prescindere dalle parentesi quel limite dovrà fare x forza zero xkè al denominatore c'è un fattoriale al quadrato.