Per parlare di base duale, devi avere uno spazio vettoriale, V, ed una base, v1,...vn, di V.

Lo spazio duale \`e lo spazio vettoriale delle forme lineari V*=Hom(V,R).

La base duale della base v1,...vn \`e data dalle forme lineari v1*,...,vn* dello spazio duale, definite dalle condizioni

vi*(vj) = 1 se i=j, 0 altrimenti.

Quindi, dato un vettore w = x1v1+...+xnvn, dello spazio V, si ha vi*(w) = xi [detto in un altro modo l'i-esimo elemento della base duale \`e la funzione che legge la i-esima coordinata di ogni vettore nella base data di V].



Altro modo di vederla. I vettori della base v1,...,vn hanno coordinate

(1,0,...,0)^t, (0,1,0,...,0)^t, .... , (0,...,0,1)^t,

[...^t vuol dire "trasposta"]. Allora le applicazioni che costituiscono la base duale sono gli elementi di Hom(V,R) che hanno matrici

(1,0,...,0), (0,1,0,...,0), .... , (0,...,0,1), rispetto alla base data ed alla base canonica di R. .

Si vede bene che la prima matrice fa 1 quando viene moltiplicata per la prima colonna di coordinate e zero contro tutte le altre, e cos\`i via.



Esempio: considera lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 2, con la base 1, X, X^2. La base duale \`e costituita dalle tre funzioni

- D0 che calcola nello 0 il polinomio P(X) [ P(X) |--> P(0) ]

- D1 che calcola nello 0 la derivata prima di P(X) [ P(X) |--> P'(0) ]

- D2 che calcola nello 0 la met\`a della derivata seconda di P(X) [ P(X) |--> P''(0)/2 ]



\`E chiaro che

D0(1) = 1, D0(X)=0, D0(X^2)=0,

D1(1) = 0, D1(X)=1, D1(X^2)=0,

D2(1) = 0, D2(X)=0, D2(X^2)=1.



Se prendo la base 1, (X-2), (X-2)^2, dello stesso spazio, quale sar\`a la base duale?

Risposta: le tre funzioni

- F0 che calcola in 2 il polinomio P(X) [ P(X) |--> P(2) ]

- D1 che calcola in 2 la derivata prima di P(X) [ P(X) |--> P'(2) ]

- D2 che calcola in 2 la met\`a della derivata seconda di P(X) [ P(X) |--> P''(2)/2 ]



spero possa esserti utile... ciao