L’equazione della bisettrice del primo e terzo quadrante è y = x.
In generale il procedimento per trovare l’equazione di una retta simmetrica ad un’altra (rispetto ad una retta di simmetria) è un po’ laborioso (risoluzione di sistema di due equazioni in due incognite).
Però quando la retta di simmetria è la bisettrice del primo e terzo quadrante, allora si verifica facilmente per via grafica (e si dimostra rigorosamente), che ad ogni punto P(x,y) corrisponde un punto P’(y,x).
(Prova e vedere se qualcosa di simile si può avere anche con la bisettrice del secondo e quarto quadrante).
Quindi alla retta y = mx corrisponderà la retta x = my, cioè, purché m ≠ 0, y = x/m.
Scriviamo ora il fascio di rette perpendicolari alla bisettrice: y = -x + q.
Per individuare gli estremi della base AB del triangolo bisogna metterla a sistema dapprima con r e poi con r’.
Per A:
| y = -x + q
| y = mx
mx = -x + q
(m + 1)x = q
purché m ≠ - 1: A(q/(m+1); mq/(m+1))
Per B:
Siccome B è il simmetrico di A rispetto alla bisettrice, allora: B(mq/(m+1); q/(m+1)).
Determiniamo ora la lunghezza della base AB:
AB = radq[(mq/(m+1) – q/(m+1))^2 + (q/(m+1) – mq/(m+1))^2] =
= radq[(mq – q)/(m+1))^2 + (q – mq)/(m+1))^2] =
= |q(m – 1)/(m + 1)| radq(2).
L’altezza del triangolo OAB si trova mediante la formula della distanza punto-retta, utilizzando l’equazione del fascio scritta in forma implicita:
x + y – q = 0.
altezza = | 0 + 0 – q | / radq(2) = radq(2)*|q| / 2.
Imponiamo l’altezza del triangolo uguale alla sua base:
radq(2)*|q| / 2 = |q(m – 1)/(m + 1)| radq(2)
|q| = 2|q|*|(m – 1)/(m + 1)|.
Se q = 0, allora, m indeterminato purché m ≠ 0 e m ≠ -1 (il triangolo si riduce ad un punto).
Se q ≠ 0, allora:
2|(m – 1)/(m + 1)| = 1
elevando al quadrato membro a membro:
4(m – 1)^2 / (m + 1)^2 = 1
4(m^2 – 2m + 1) = m^2 + 2m + 1
4m^2 – 8m + 4 – m^2 – 2m – 1 = 0
3m^2 – 10m + 3 = 0
3m^2 – 9m – m + 3 = 0
3m(m – 3) – (m – 3) = 0
(m – 3)(3m – 1) = 0
m1 = 3
m2 = 1/3.
Le rette r e r’ risolventi hanno dunque equazione:
y = 3x; y = x/3.
Notare l’assenza di q nei risultati. Ciò significa che la relazione di uguaglianza fra base e altezza è indipendente dalla retta del fascio. E così dev’essere, dato che per ogni valore di q (q ≠ 0) si hanno triangoli simili e quindi aventi gli stessi rapporti fra le loro lunghezze corrispondenti.