Nel chiedere l'intervento di esperti servirebbe un minimo d'esperienza anche da parte del richiedente. Invece la tua domanda contiene imprecisioni, ed anche una contraddizione.
Dire "restringere ... all'intervallo ]- π/2, π/2[ ... sono sicuro che siano due, ..." è una sciocchezza sfuggita per la fretta e senza pensarci: in quell'intervallo c'è solo l'intersezione nell'origine perché la pendenza della tangente nell'origine (1/cos^2(0) = 1) è eguale a quella della retta: la bisettrice è tangente di flesso alla tangentoide. Le infinite intersezioni (simmetriche rispetto all'origine) hanno tutte luogo fuori dal periodo centrale.
Dire "Non devo trovare il valore numerico, ma l'operazione che mi consente di trovare la x" è una contraddizione perché l'equazione
f(x) = x = tg(x) = 0
fa parte della vasta categoria (dove l'incognita appare sia come base di potenze che come argomento di funzioni trascendenti) la cui soluzione non si esprime in funzioni elementari, ma richiede il ricorso a metodi numerici anziché simbolici.
Quindi non esiste una formula simbolica (per esplicitare x da x = tg(x) = 0) in termini di funzioni elementari.
"l'operazione che mi consente di trovare la x", non potendo essere un'applicazione simbolica di funzioni, è proprio e soltanto un algoritmo di calcolo numerico che pertanto non produce un'inesistente espressione algebrica, ma proprio e soltanto un valore numerico.
L'equazione f(x) = 0 si risolve numericamente raffinando uno zero di f(x), isolato nell'intervallo [a, b], con "Strumenti/Ricerca obiettivo ..." di Excel, cercando il valore che annulla l'espressione f(x), innescando opportunamente il calcolo (p.es. col valore x = (a + b)/2). Per isolare uno zero di f(x) basta qualche valutazione (se del caso, in Excel).
Le due intersezioni più vicine all'origine hanno ascisse x ~= ± 4.49.
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v. http://www.yanswersblnit.com/b4/2010/01/08/evita-lo-spareggio-scegli-la-miglior-risposta/