Ciao.

Come sai, dato uno spazio V e un campo K, lo spazio duale V* è l'insieme delle applicazioni lineari da V in K (cfr la referenza e naviga un po' in giro...)

Nel tuo caso lo spazio V=R^3 e il campo K sono i reali (o forse, se preferisci, i complessi... ma tanto non cambia assolutamente niente!).

Dunque V* è l'insieme della applicazioni da R^3 in R. Tu puoi scrivere il più generico elemento di V* come

f(x, y, z) = mx + ny + lz

dove m,n,l sono elementi di R (o di C, nel caso esteso. D'ora in poi consideriamo soltanto R, ok?)

Data una base v1,v2,v3 di V, la base duale in V* è quella base t1,t2,t3 tale che

ti(vj) = delta(ij)

con delta(ij)=1 se i=j e 0 altrimenti.

Cioè: t1,t2,t3 sono tre funzioni da R^3 in R tali che

1) t1(v1)=1 e t1(v2)=t1(v3)=0

2) t2(v2)=1 e t2(v1)=t2(v3)=0

3) ...

Claro?

Visto il tuo problema cerchiamo, ad esempio, la funzione t1. La scriviamo genericamente come

t1(v)= m1x + n1y + l1z

con m1, n1 e l1 numeri reali e v=(x,y,z) generico vettore di R3

Si tratta di trovare il valore di questi tre numeri reali in modo tale che t1 soddisfi la condizione (1) scritta poco sopra. Qui si fa banalmente:

4) t1(v1) = m1 . 1 + n1 . (-1) + l1 . 2 = m1 - n1 + 2l1 = 1

5) t1(v2) = -m1+n1+2l1 = 0

6) t1(v3) = m1 - l1 = 0

Sistema di tre equazioni in tre incognite.

dalla (6): m1=l1.

Sostituendo nella (5): n1 = -m1

Sostituendo nella (4): m1 + m1 + 2m1 = 1 --> m1=1/4

Dunque la prima applicazione t1 è:

t1(v) = 1/4 x - 1/4 y + 1/4z

Puoi verificare che la (1) è davvero verificata.

Bene. Ora... devo andare. Porta pazienza: stasera dopo cena dovrei aver tempo per completare l'esercizio e spiegarti un'altra cosa importante che ti permette di risolvere il tutto con notazione più rapida, finché sei in R3. Se nel frattempo qualcuno vuole intervenire, non mi offendo. Viva i tensori!

Ciao!

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Continuo.

Ti introduco una notazione diversa che spero non ti confonda troppo.

Inizia con lo scrivere i vettori v di V come vettori colonna, cioè come:

/x\

|y| = v

\z/

Il generico operatore lineare t su V ha la forma che abbiamo visto:

t(v) = mx + ny + lz

Se introduci un vettore riga t=(m,n,l) puoi scrivere t(v) come un prodotto "riga colonna":

t(v) = t.v

[spero di non averti confuso le idee]. In questo modo trovi una notazione più compatta anche se sostanzialmente i conti rimangono gli stessi. La parte che abbiamo fatto del problema si riduce al trovare un "operatore" t1=(m1,n1,l1) t.c.

t1.v1=1 e t1.v2=t1.v3=0

Questo operatore lo abbiamo trovato ed è t1=(1/4,-1/4,1/4)

Ora cerchiamo t2=(m2,n2,l2) e t3=(m3,n3,l3)

t2.v1=m2-n2+2l2=0

t2.v2=-m2+n2+2l2=1

t2.v3=m2-l2=0 --> m2=l2 -->

n2=3l2=3m2 -->

-m2+3m2+2m2=4m2=1 --> m2=1/4 -->

t2=(1/4,3/4,1/4)

Lo stesso per t3:

t3.v1= m3-n3+2l3 = 0 = t3.v2 = -m3+n3+2l3 --> 4l3=0 -->l3=0 -->

m3=n3

t3-v3=m3-l3=1 --> m3=1 -->

t3=(1,1,0)

Così hai trovato la tua base duale: t1,t2,t3. Se vuoi scriverla in forma operatoriale:

t1(v) = 1/4 x - 1/4 y + 1/4z

t2(v) = 1/4 x + 3/4 y + 1/4 z

t3(v) = x + y



Ultima domanda: scrivere f(x, y, z) = 2x + 3y − 3z. rispetto alla base duale.

f = k1 t1 + k2 t2 + k3 t3

Se la scrivi in forma di vettori riga diventa tutto piuttosto chiaro: trovare k1,k2,k3 t.c.

k1(1/4,-1/4,1/4) + k2(1/4,3/4,1/4) + k3(1,1,0) = (2,3,-3)

E' un normale sistema lineare a tre equazioni nelle tre incognite k1,k2,k3

k1/4+k2/4+k3=2

-k1/4+3k2/4+k3=3

k1/4+k2/4=-3

Se sottrai la terza dalla prima trovi

k3=5

Sommando prima e seconda:

k2+2k3=5 --> k2=-5

k1+k2=-12 --> k1=-7

Cioè il tuo operatore rispetto alla base lo scrivi come:

f(v) = -7t1(v) -5t2(v) +5t3(v)



Se non vuoi usare questa notazione basta che scrivi

f(v) = k1t1(v) + k2t2(v) + k3t3(v) -->

2x+3y-3z = k1/4.x - k1/4.y + k1/4.z + k2/4.x + 3k2/4.y + k2/4.z + k3x + k3y

Bisogna trovare i valori di k1, k2,k3 t.c. la suddetta uguaglianza sia sempre verificata, cioè valga per ogni valore di x,y e z. Ma questo accade solo se i coefficienti davanti a x, y, z sono nulli. Cioè, raccogliendo:

x(2-k1/4-k2/4-k3) + y(...) + z(...) = 0

Devi annullare i singoli coefficienti di x,y,z:

2-k1/4-k2/4-k3 = 0

... = 0

... = 0

Puoi verificare che questo piccolo sistema in k1,k2,k3 è identico a quello che abbiamo appena risolto.

Boh. Spero di essere stato chiaro. Se vuoi altri chiarimenti fatti vivo. Ciao!