Proviamo a considerare alcuni casi in cui l'ultimo passegero NON si siede al suo posto.



Il primo occupa il suo posto

P=1/200



Il primo occupa il posto del secondo che occupa il posto dell'ultimo

P=1/200*1/199



Il primo occupa il posto dell'n-esimo che occupa il posto dell'ultimo (2<=n<=199)

P=1/200*1/(201-n)



Il primo occupa il posto del secondo, che occupa quello del terzo che occupa quello dell'ultimo..

P=1/200*1/199*1/198



Il primo occupa il posto dell'n-esimo, che occupa il posto dell'm-esimo, che occupa il posto dell'ultimo (m>n)

P=1/200*1/(201-n)*1/(201-m)



Andando avanti a fare catene di questo genere, si arriva fino all'ultima, in cui ognuno occupa il posto di quello successivo.



Sommando ogni probabilità, si trova che



P= 1/200*(1/199+1/198+...1+1/199*1/198+...+1/3*1/2+....+1/99*...*1/2)



In pratica, nella parentesi, ci sono tutte le combinazioni possibili di frazioni 1/n (n<=199), prese singole, in coppia, in gruppi di tre, di quattro.. fino all'ultima combinazione in cui si moltiplicano tutte e 199.



Per numeri bassi è facile vedere che il risultato della somma è 0.5.



Non mi viene al momento un'idea per dimostrarlo per numeri più alti.



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Ok, proviamolo per induzione.



Per n=2,3,4 si fanno semplicemente i calcoli.



Sia vero per n



allora abbiamo che



1/n*(c(n))=1/2 (1)



Ovviamente con c(n) intendo tutte le possibili combinazioni di frazioni del tipo 1/m (m


Per n+1, dobbiamo trovare tutte le combinazioni possibili c(n+1).

Queste si divideranno in quelle che contengono 1/n, e quelle che non lo contengono.

Quelle che lo contengono sono quelle nella forma 1/(n+1)*(1/n*(c(n)))

Quelle che non lo contengono sono semplicemente nella forma 1/(n+1)*(c(n)).



Il totale sarà quindi



1/(n+1)*(1/n*(c(n))) + 1/(n+1)*(c(n)) (2)



Ma siccome abbiamo supposto vero (1), abbiamo che



(c(n))=n/2



Ma sostituendo questa in (2) troviamo



1/(n+1)*(1/n * n/2) + 1/(n+1)*(n/2) =



1/2(n+1) + n/2(n+1) = (n+1)/2(n+1) = 1/2.





In questo modo proviamo il problema per ogni treno con n passeggeri e n posti.

Dal punto di vista probabilistico c'è un super calcolo che va fatto, ma credo che il punto sia trovare un ragionamento che snellisce il lavoro.

Spiegherò il calcolo che va fatto partendo da casi con numerosità meno elevata.

Prendiamo l'esempio di 2 passeggeri (cioè 2 posti).

Il primo può sedersi in 2 posti diversi, quindi c'è 1/2 di probabilità che si sieda al suo posto. Se si siede al suo posto la probabilità che l'altro si sieda al suo posto è data da

1/2*1 = 1/2 (è importante notare l'1. Quando un passeggero ha il posto prenotato libero si siederà soltanto lì, è una cosa certa)

Se invece il primo non si siede al suo posto la probabilità che l'altro si sieda al suo posto è data da

1/2*0 = 0 (quando il primo, o nei casi più numerosi un altro passeggero, si siede al posto dell'ultimo, la probabilità di questi diventa 0, rendendo 0 la probabilità di questo caso. E' importante per eliminare evitare calcoli inutili nei casi più numerosi)

Quindi la probabilità complessiva che il secondo si sieda al suo posto è data dalla somma di questi 2 casi: 1/2+0 = 1/2 = 0,5.



Se i passeggeri fossero 3 il ragionamento sarebbe il seguente.

Il primo ha 1/3 di probabilità di sedersi al suo posto. Se si siede al suo posto gli altri 2 agiranno solo in un modo, cioè si siederanno al loro posto. La probabilità di questo primo caso è

1/3*1*1 = 1/3

Se il primo si mette nel posto dell'ultimo la probabilità che l'ultimo si metta al suo posto è

1/3*1*0 = 0

Se il primo si mette al posto del secondo il secondo ha 2 possibilità.

Se si mette nel posto del primo le probabilità diventano

1/3*1/2*1 = 1/6 (il primo ha 3 posti a disposizione e sceglie quello del secondo. Il secondo ha 2 posti a disposizine e sceglie quello del primo, quindi lascia libero il posto dell'ultimo che quindi si siede al suo posto con probabilità 1)

Se si mette nel posto dell'ultimo le probabilità diventano

1/3*1/2*0 = 0

Quindi nel caso di 3 passeggeri la probabilità è 1/3+1/6+0 = 0,5



Facciamo anche il caso di 4 passeggeri per far capire bene il ragionamento :P (poi anche quello di 5 ma in breve per confermare).

Primo passeggero al posto giusto:

1/4*1*1*1 = 1/4

Primo passeggero al posto dell'ultimo:

1/4*1*1*0 = 0

Primo passeggero al posto del secondo:

1/4*1/3*1*1 = 1/12 (il secondo si mette al posto del primo)

1/4*1/3*1/2*0 = 0 (il secondo si mette al posto dell'ultimo)

1/4*1/3*1*0 = 0 (il secondo si mette al posto del terzo e il terzo frega il posto all'ultimo)

1/4*1/3*1/2*1 = 1/24 (il secondo si mette al posto del terzo che si mette al posto del primo)

1/4*1*1/2*0 = 0(il primo si mette al posto del terzo, il secondo si mette per forza al suo posto e il terzo frega il posto all'ultimo)

1/4*1*1/2*1 = 1/8 (il prmo si mette al posto del terzo, il secondo si mette per forza al suo posto e il terzo si mette al suo posto)

Quindi la probabilità totale che l'ultimo si sieda al suo posto è data da 1/4+0+1/12+1/24+0+0+0+1/8 = 1/4+1/12+1/24+1/8 = 0,5



Facciamo brevemente il caso di 5 posti non calcolando nemmeno i casi in cui qualcuno freghi il posto all'ultimo, perché questo fa diventare automaticamente 0 la probabilità che verrà sommata alla fine.

A questo punto ci sono da notare un altro paio di cose quando calcoliamo le singole probabilità:

1) il primo passeggero ha una probabilità fissa di 1/N (N è il numero di passeggeri)

2) l'ultimo ha 2 probabilità: o 0 (se qualcuno gli ha fregato il posto), o 1 (se arriva la fine e c'è il suo posto).

3) i passeggeri intermedi hanno anche loro solo 2 tipi di probabilità: 1 se il loro posto è libero, 1/M se il loro posto è occupato (M è il numero di posti liberi quando sale quel passeggero).

Quindi le varie probabilità saranno sempre

1/N*1*1*1*1*1/(M1)*1*1*1*(M2)*...

Es. con 4 passeggeri delle probabilità possibili per ogni passeggero:

.1°.|.....2°....|.....3°.....|...4°..

1/4 | 1 o 1/3 | 1 o 1/2 | 1 o 0

La probabilità totale sarà la somma di tutte le combinazioni possibili del primo con gli altri valori.

Questo è molto importante perché ci permette di stabilire quanti siano i casi possibili. I casi possibili sono 1*2^(N-1), in questo caso 2^3 = 8.

Infatti se c'erano 2 passeggeri i casi possibili erano 2^(2-1) = 2, con 3 passeggeri 2^(3-1) = 4, con 5 saranno 2^(5-1) = 16.

Altra cosa da notare è che l'ultimo valore valendo solo 0 o 1 nella metà dei casi renderà 0 la probabilità, quindi i casi rilevanti saranno [2^(N-1)]/2



Il caso a 5 quindi senza più tanti ragionamenti diventa la combinazione del prodotto di tutti i possibili valori di ogni passeggero, quindi:

1/5*1*1*1*1 = 1/5

1/5*1/4*1*1*1 = 1/20

1/5+1/4*1*1/2*1 = 1/40

1/5*1/4*1/3*1*1 = 1/60

1/5*1/4*1/3*1/2*1 = 1/120

1/5*1*1/3*1*1 = 1/15

1/5*1*1/3*1/2*1 = 1/30

1/5*1*1*1/2*1 = 1/10

1/5+1/10+1/15+1/20+1/30+1/40+1/60+1/120 = 0,5

Allora, vediamo un po' se ho capito.



Il secondo passeggero se trova libero il suo posto, occupa quello, giusto?

Soltanto se già è occupato, ne occupa un altro.

Prendiamo la possibilità che il secondo possa occupare il proprio: di conseguenza anche tutti gli altri occuperanno il posto a loro assegnato, e come ultima conseguenza, anche l'ultimo passeggero occuperà il suo, che sarà l'unico rimasto libero.

Tutta questa catena, dunque, avviene nel caso il secondo passeggero trovi libero il suo posto, avendo 199 possibilità su 200, visto che il primo passeggero ne ha invece solo 1/200 di occupare proprio quello del secondo a salire sul treno.

Quindi, l'ultimo passeggero ha 199 possibilità su 200 di occupare esattamente il suo posto.



Ci ho preso, o ho trascurato qualche dettaglio importante?

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Già, hai ragione XP

Vabbè al massimo ci riprovo domani, ora sono troppo stanca!

Che bello questo problema!!!!!!!!!!

!

Dai sparo: ha il 50 % di probabilità.

Bello!

E' la probabilità che i primi 199 non occupino il posto del 200-esimo.

Valutando uno meno l'evento opposto



P = 1- [P(che il primo occupi il posto del 200_esimo)+ P(che il secondo occupi il posto del 200-esimo) + P(che il terzo occupi il posto del 200-esimo) +...+... ...]



= 1 - (1/200 + 1/199 + 1/198 + 1/197 + ... + 1/2)



Dato che non ho voglia di fare i calcoli (che poi magari è sbagliato...) ti lascio anche il programmino in C, per calcolarti 1 - (tutta la sommatoria)



float ans = 0, risp = 0;



for (int i = 200; i >= 2; i-- )

ans = ans +1/i;



risp = 1 - ans;

return risp;



Ciao!!





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Ma non è possbile che sia 50%!

Immaginati di essere nella seguente fase:

189 passeggeri si sono già seduti; il posto del 200-esimo è rimasto libero. Sale il 199-passeggero allora LUI ha il 50% di possibilità di occupare il 200-esimo posto, o di occupare l'altro rimasto libero. In questo caso la probabilità che il 200-esimo passeggero salga al suo posto è 50%.



Però a questa va sommata ancora la probabilità che nessuno degli altri 189 passeggeri già seduti in questa fase gli abbia fregato il posto, che nella fase in questione abbiamo dato per buono. Quindi deve essere sicuramente più bassa di 50%.



Riformulo per chiarezza: solo se ci sono due persone e due posti liberi la probabilità è 50%. Se tu dici che è 50% non conti le altre 198 persone.



Ciao!!



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>Lupo a : pensaci meglio e vedrai che è cosi,oppure >aspetta che qualcuno risponda con una risposta corretta..



Ci ho pensato meglio. Solo fra le ultime due persone che salgono sul treno c'è il 50%, "se nessuno degli altri passeggeri ha fregato il posto al 200-esimo".



Quel "se nessuno degli altri passeggeri ha fregato il posto al 200-esimo" è una condizione che va calcolata e va a sommarsi alla condizione del 50% abbassandola drasticamente.



Il numero di persone conta eccome, se fai per tentativi per un treno con due posti è il 50%, ma man mano che aumenti, e conti le possibilità la probabilità scende:



Analizzo i due casi su numeri piccoli, per due e tre passeggeri:



1 ha il posto I prenotato

2 ha il posto II prenotato

ecc ecc...

salgono in ordine crescente:



****



SITUAZIONE CON 2 passeggeri:



posti: I II

passeggeri: 1 2



Casi:

1)

sale 1 si siede su I

a 2 rimane II



2)

sale 1 si siede su II

2 non trova il suo posto.



-> P = 50%



****



SITUAZIONE CON 3 passeggeri:



posti: I II III

passeggeri: 1 2 3



Casi:

1)

sale 1 si siede su I

sale 2 si siede sul II

a 3 rimane III



2)

sale 1 si siede su II

sale 2 si siede sul I

a 3 rimane III



3)

sale 1 si siede su I

sale 2 si siede sul III

a 3 rimane II



4)

sale 1 si siede su III

sale 2 si siede sul I

a 3 rimane II



5)

sale 1 si siede su III

sale 2 si siede sul II

a 3 rimane I



6)

sale 1 si siede su II

sale 2 si siede sul III

a 3 rimane I





Sulle sei possibilità che possono essere configurate dai sei passeggeri ci sono solo 2 in cui "3" si trova sul posto III cioè su quello che ha prenotato



-> P = 2/6 = 33.333%



Che non è 50%



Quindi già per tre passeggeri che salgono e scelgono i posti in modo casuale la tua risposta non funziona.

50% è matematicamente sbagliata. E la risposta non è invariante al numero dei passeggeri.



Comuque ho messo una stellina perché il problema è carino!



Ciao!



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@phemt666



>Se i passeggeri fossero 3 il ragionamento sarebbe il seguente.



>Il primo ha 1/3 di probabilità di sedersi al suo posto. Se si siede al suo posto gli altri 2 agiranno solo in un modo, cioè si siederanno al loro posto.



Ma già qui non sono d'accordo. Gli ultimi due se lo potrebbero anche scambiare.

Il primo ha 1/3, ma il secondo ha 1/2 di finire al suo posto o 1/2 di finire al posto dell'altro.



Per il primo al suo posto (1 -> I), ci sono comunque 2/6 = 1/3, per l'analisi dei casi che ho fatto prima.



O con il tuo linguaggio

1/3*1/2*1 + 1/3*1/2*1 = 1/3





>La probabilità di questo primo caso è

1/3*1*1 = 1/3



Non sono d'accordo con il procedimento, ma sono d'accordo con il risultato, mentre,



>Se il primo si mette nel posto dell'ultimo la probabilità che l'ultimo si metta al suo posto è

1/3*1*0 = 0



Qui non sono d'accordo né con il procedimento né con il risultato. C'è solo un caso sui sei possibili che ciò accada



1 -> III

3 -> I

allora per forza

2 -> II



Questo è un caso possibile, uno dei sei analizzati prima (6).

P = 1/6, non zero



ecc ecc...

[...]



>Quindi nel caso di 3 passeggeri la probabilità è 1/3+1/6+0 = 0,5



Nel caso di 3 passeggeri vale la seguente tabella di casi possibili:



colonne: posti (I II III)

righe: passeggeri (1 2 3)



_ I _ II _ III



_ 1_2_3

_ 2_1_3

_ 1_3_2

_ 2_3_1

_ 3_1_2

_ 3_2 _1



Queste 6 situazioni sono tutte e 6 realizzbili, dato che i passeggeri entrano uno alla volta e si siedono in modo casuale.

**I casi possibili sono 6



Solo nelle prime 2 possibilità però il terzo passeggero è nel posto III.

**I casi favorevoli sono 2.



Se la probabilità sono i casi favorevoli fratto i casi possibili, allora



P = 2/6 = 1/3



come visto prima!

Ciao!!



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Ora però mi accorgo che la mia soluzione non è giusta perché quella sommatoria diverge... fa circa 4 (e forse non dovrebbe nemmeno essere una sommatoria), e non centra più nulla con i ragionamenti che ho fatto prima...



Seguendo invece il ragionamento di prima i casi possibili sono 200! (! = fattoriale)

i casi favorevoli, cioè in cui il 200-esimo passeggero si trova al 200-esimo posto sono quelli in cui i 199 vanno in 199 posti possibili e il 200-esimo rimane fermo. Quindi i casi favorevoli sono 199!



Il loro quoziente dà la probabilità cioè



P = 199! / 200! = 1/200



coerentemente con il fatto che per il caso di 3 posti



P = 2!/3! = 1/3



Nel caso generico



P = (n-1)! / n!



Quindi mi unisco anche io al coro che dice che la soluzione è 1/200, per le motivazioni appena esposte!



Sembra un paradosso perché è o stesso numero che si avrebbe se sul treno non salisse nessuno oltre al 200 passeggero, ed azzeccasse al primo colpo il suo posto...



Giusto o sbagliato che sia, davvero un bel problema. Aspetto con ansia le soluzioni ufficiali!!



Ciao!



P.S. se in questo ragionamento ci sono delle pecche, mi dite dove sono perfavore?



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Ah.. è vero, non avevo colto i condizionamenti!

Grazie!

Mooolto interessante, ora ci ragione un po'...comunque si, 1/200 è troppo banale (e anche poco sensato, alla fine non si terrebbe conto dei vari condizionamenti, no?!).

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Se il primo occupa il proprio posto, tutti gli altri occuperanno il proprio posto. Quindi la probabilità che il 200esimo passeggero occupino il proprio posto è 1.

Questa "parte" di ragionamento è corretta?

beh, tutte quelle che vuole...cerca il suo posto, se è libero ok, se no dice "questo posto l'ho riservato io" e fa alzare l'altro passeggero u__u

LA PROBABILITà è 1 SU 200 CHE SIA IL SUO0 POSTO......SPERO SIA GIUSTO...

una su 200