Dato uno spazio vettoriale, la prima cosa da fare è trovarne la dimensione.
Che dimensione ha V = L(v1, v2, v3) ? Non è detto che sia 3, ma certamente è ≤ 3.
E' semplice:
dim(V) = max numero vettori lin. indip. tra v1, v2, v3 = rango della seguente matrice
2 1 .0 -1
1 1 -1 -3
3 1 .1 .1
Il rango di questa matrice è 2, perché tutti i determinanti 3x3 sono 0, e c'è almeno un determinante 2x2 che è ≠ 0; oppure perché si vede a occhio che v1, v2 sono lin. indip. e che v3 = 2v1 - v2.
Quindi
a) dim(V) = 2
b) una base di V è {v1, v2}
c) V = L(v1, v2)
Ora siamo in grado di trovare le equazioni cartesiane di V.
Un generico vettore di V è del tipo
(x,y,z,t) = a·v1 + b·v2 = a(2,1,0,-1) + b(1,1,-1,-3) = (2a+b, a+b, -b, -a-3b)
{ x = 2a+b
{ y = a+b
{ z = -b
{ t = -a-3b
Eliminando a, b dal sistema avrai due equazioni lineari in x, y, z, t, che sono le eq. cart. di V.
{ x - 2y - z = 0
{ y - 2z + t = 0
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ciao