1) una funzione è dispari se f(-x)=-f(x) esempi di funzioni dispari sono:

y=x^k dove k è un numero dispari (1,3,5,7,9,....)

y=sen(x) (anche y=senh(x))

y=tan(x)

y=0



ti faccio un esempio y=x^3 è una funzione dispari allora

f(-x)=-f(x)

f(x)=x^3 -f(x)=-x^3 f(-x)=(-x)^3

-x^3=(-x)^3

-1 * x^3 = (-1)^3* (x)^3

-1 * x^3=-1 * x^3

quindi siamo sicuri che è dispari perchè abbiamo ottenuto una cosa ovvia (x^3=x^3) che vale per tutti gli x



Nelle fuzioni dispari si può '' portare fuori il segno meno ''

es: (-x^3)=-(x^3) sen(-x)=-sen(x)



I grafici delle funzioni dispari sono simmetrici centralmente rispetto all'origine degli assi cartesiani



Se al grafico della funzione appartiene il punto (x,y) allora al grafico appartiene anche il punto (-x,-y)

es : al grafico di una funzione dispari appartiene il punto (2,3) ciò significa f(2)=3 essendo dispari vale f(-2)=-f(2)=-3

e quindi al grafico della funzione appartiene anche il punto (-2,-3)





Una funzione è pari se f(-x)=f(x) esempi di funzioni pari sono:

y=x^2 e tutte le altre funzioni y=x^k con k pari

y=cos(x) (anche y=cosh(x))

y=|x| (funzione valore assoluto)

y=0 e altre funzioni costanti del tipo y=k con k qualsiasi tra i reali



per esempio y=x^2 è una funzione pari, per verificarlo si procede come per le funzioni dispari: quello che vogliamo dimostrare è che f(-x)=f(x) (-x)^2=(x)^2 e questo è vero, ogni volta che si eleva qualcosa al quadrato si ottiene qualcosa di positivo e non si sa se quel qualcosa di cui abbiamo ottenuto il quadrato era positivo o negativo ''si perde l'informazione del segno'' quindi per le funzioi ari il segno si può togliere o mettere a seconda di come si preferisce:

cos(x) può diventare cos(-x)

x^2 ---------> (-x)^2

|x| ----------> |-x|



dato che 2 x diversi (x e -x) hanno la stessa immagine f(x)

le funzioni pari non sono iniettive e quindi non sono invertibili, per renderle invertibili o iniettive se ne considerano restrizioni



I grafici delle funzioni pari sono simmetrici rispetto all'asse y se al grafico appartiene il punto (x,y) allora al grafico appartiene anche il punto (-x,y) appunto perchè f(x)=y=f(-x)



Solo y=0 è una funzione sia dispari che pari



2) sì im(f)=R significa ke l'immagine di f è tutto R, per il resto se stai seguendo un corso di studio ti conviene chiedere al corso, scuola,università,......, che sia perchè la matematica è un opinione e in più a volte si semplificano le definizioni, a volte si complicano pure, a seconda di cosa serve al corso di studi!

1) f è pari se f(-x) = f(x)

f è dispari se f(-x) = - f(x)

ESEMPIO

pari: f(x) = x^2 (=parabola) oppure anche f(x)= |x| (valore ass)

dispari : f(x) = x (=retta bisettrice del I e III quadrante)





2)la prima sì, la 2nda no xchè l'immagine di f è un sottoinsieme del codominio (è l'insieme degli elementi del codominio che sono immagine di almeno un elemento del dominio). se poi la funz è suriettiva allora immagine = codominio ( ma soloin questo caso, in generale no

1)

funzione pari:

f(x)=f(-x) per ogni x

esempio: cos(x), x^2, x^4,...



funzione dispari:

f(-x)= -f(x) per ogni x

esempio: sen(x), x, x^3, -x^3...



2)

esatto!

1. Funzioni pari sono quelle, che disegnate, sono simmetriche rispetto all'asse delle ordinate (x=0). Dispari sono quelle che non lo sono.

Esempio di funzioni pari: y=cosx; y=x^2

Esempio di funzioni dispari: y=x; y=x^3

In generale, per una funzione f(x)= x^i, se i è pari la funzione è pari, se i è dispari la funzione è dispari



La definizione di funzione pari è f(-x)=f(x).

La definizione di funzione dispari è f(-x)=-f(x)

2. L'immagine di f è tutto R. L'immagine di f è il codominio se e solo se la funzione è suriettiva. In questo caso, le immagini di f sono i valori di y che la funzione prende se disegnata. Un esempio di una funzione così può essere y=tgx o y=x

1) y=x^2 (il grafico è simmetrico rispetto all'asse y), y=x^3 (il grafico è simmetrico rispetto all'origine delle coordinate)



2)si hai ragione

Sia f una funzione a valori reali di variabile reale.

Se per ogni x del dominio risulta che f(x) = f(-x) allora si dice che la funzione è PARI.



Se per ogni x del dominio risulta che f(x) = -f(x) allora si dice che la funzione è DISPARI.



Per quanto riguarda la seconda domanda, hai detto giusto. Però non sempre l'intero codominio della funzione risulta essere uguale all'immagine. Ma sarebbe più corretto dire che l'immagine è un sottoinsieme del codominio.



Ciao!!!

Lulisja

Grazie per la domanda chiara e precisa. Ti meriti un'ottima risposta.





1)





FUNZIONI PARI



f si dice pari se f(x)=f(-x) per ogni x. In pratica f è simmetrica rispetto all'asse y.



Esempio: la funzione f(x)=x^2 è pari. Più in generale, f(x)=x^(2n) è pari per ogni n non negativo.



Altro esempio: la funzione f(x)=cos(x) è pari.



La somma e la differenza più in generale le combinazioni lineari di funzioni pari sono funzioni pari.



Esempio: f(x)=(x^2)+(cos(x)) è pari perché f(-x)=((-x)^2)+(cos(-x))=x^2+cos(x)=f(x).





FUNZIONI DISPARI



Una funzione f si dice dispari se f(x)=-f(-x). In pratica, la funzione è simmetrica rispetto all'origine.



Esempio: f(x)=x è dispari. Più in generale f(x)=x^(2n+1) è dispari per ogni intero n non negativo.



Altro esempio: f(x)=sin(x) è una funzione dispari.



Le combinazioni lineari di funzioni dispari sono ancora funzioni dispari.





2)





Im(f)=R significa che l'immagine di f è tutto R. Quindi la funzione è suriettiva. L'immagine di f non è il codominio: in generale f va da A a B e il codominio della funzione è B e non Im(f). In generale Im(f) è un sottoinsieme di B, possono coincidere oppure Im(f) è sottoinsieme proprio di B.