Ciao,



credo che il tuo testo abbia adottato questa soluzione:



lo spazio V è composto da tutti i vettori che sono la combinazione lineare dei due vettori di base

quindi sono nella forma

X = a (0,1,1) + b(1,0,-1)



vale la stessa cosa per i vettori di W

Y = c (2,-1,0) + d (1,0,1)



per trovare l'intersezione tra i due spazi si pone X = Y è si trova per quali valori dei coefficienti a,b,c,d l'equazione è soddisfatta

a (0,1,1) + b(1,0,-1) = c (2,-1,0) + d (1,0,1)



uguagliando componente per componente trovi proprio il sistema scritto nel tuo testo

{ b = 2c + d

{ a = -c

{ a - b = d



puoi risolvere il sistema per sostituzione

a - b = d => -c - b = d => c + b = -d



b = 2c + d => b + c = 3c + d => -d = 3c + d => d = -3/2c



quindi i vettori appartenenti all'intersezione sono

Y = c (2,-1,0) - 3/2c (1,0,1) = c/2 (1, -2, -3)



appunto tutti vettori proporzionali a (1, -2, -3)

(sostituendo in X trovi lo stesso risultato)