Ciao
Questo è uno di quei integrali da sfasciare la macchina al prof XD
INTEGRALE DOPPIO su W { (½)√(x² + y²) } dxdy
ove
W è la regione compresa fra le due circonferenze considerate nel primo quadrante
Γ₁ : x² + y² - 2y = 0
è la circonferenza di centro (0, 1) e raggio 1
Γ₂ : x² + y² - 4y = 0
è la circonferenza di centro (0, 2) e raggio 2
Rappresentiamo il dominio di integrazione
http://img222.imageshack.us/img222/2644/bastardoi.jpg
Il Dominio di integrazione va pensato in questo modo
W = W₂ \ W₁
ove
W₁ := { (x,y) ∈ IR² : x² + y² - 2y ≤ 0}
W₂ := { (x,y) ∈ IR² : x² + y² - 4y ≤ 0}
In questo caso il metodo più semplice per risolvere questo integrale è il seguente:
❶ Si calcola l'integrale doppio sul dominio W₂
❷ Si calcola l'integrale doppio sul dominio W₁
❸ L'integrale doppio su W è dato dalla relazione W = W₂ - W₁
Per gli integrali su W₁ e W₂ bisogna usare due differenti cambi di coordinate
Per W₁ il cambio da fare è il seguente
{x = ϱcos(ϑ)
{y = 1 + ϱsen(ϑ)
Per W₂ il cambio da fare è il seguente
{x = ϱcos(ϑ)
{y = 2 + ϱsen(ϑ)
ATTENZIONE !!!
Devi calcolarti anche lo jacobiano della trasformazione perché in entrambi i casi NON È ϱ :)
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ASSOLUTAMENTE SI
Cerca però di essere più preciso nel linguaggio utilizzato. Quello che ho scritto io è il cambio di coordinate, ovvero quello che devi andare a sostituire al posto delle variabili x e y
Otterrai quindi
INTEGRALE DOPPIO su W { (½)√(x² + y²) } dxdy =
= INTEGRALE DOPPIO su W₂ { (½)√((ϱcos(ϑ))² + (2 + ϱsen(ϑ))²) } det|J₂| dϱdϑ - INTEGRALE DOPPIO su W₁ { (½)√((ϱcos(ϑ))² + (1 + ϱsen(ϑ))²) } det|J₁| dϱdϑ =
ATTENZIONE !!!
Coi simboli det|J₁| e det|J₂| indico rispettivamente i valori dei determinanti delle matrici jacobiane delle straformazioni per i cambi di coordinate operati sui domini W₁ e W₂