1) parabola orientata verso il basso.

I punti che formano il rettangolo sono caratterizzati dalla relazione:

A=(x1,y) B=(x2,y) C=(x1,0) D=(x2,0)



Questo perché A e B sono sulla stessa retta e C e D pure (e in questo caso la retta è l'asse delle x, quindi y=0).



Inoltre sai che, posti nell'equazione della parabola, sia x1 che x2 danno y quindi puoi risolvere l'eq della parabola rispetto ad x per trovare x1 e x2 ovvero



-x^2+4x-y=0 ovvero x^2-4x+y=0



ottenendo: x = 2 - √(4 - y) e x = √(4 - y) + 2



di solito con x1 si indica la minore delle radici perciò vale:

x1=2-√(4 - y) e x2=√(4 - y) + 2

a questo punto A è il punto più a sinistra di B nel disegno.

Le coordinate del tuo rettangolo sono:

A=(2-√(4 - y);y) B=(2+√(4 - y);y)

C=(2-√(4 - y);0) D=(2+√(4 - y);0)



La base del rettangolo è AB quindi misura

b = 2+√(4 - y)-(2-√(4 - y)) = 2*√(4 - y)

L'altezza è AC o BD ed è l'ordinata del punto A o B

h = y



L'area è

A = b*h = 2*√(4 - y)*y



Quindi ti basta studiare la derivata di questa funzione e vedere dove si annulla per capire dove ha un massimo.



Derivi con la regola del prodotto e ottieni

2*√(4 - y)+2y*1/2*1/(√(4 - y))*(-1)

ovvero

2*√(4 - y)-y/(√(4 - y))



uguagliando a 0 ottieni

2*(4-y)-y=0 (moltiplicando a sx e dx per √(4 - y) quindi y diverso da 4)

8-3y=0

y=8/3



Ora potrei fare un discorso complicatissimo sul perché questo punto, essendo l'unico in cui la derivata prima si annulla è di massimo, ma tu dovrai verificarlo o graficamente o con i conti.



Graficamente: prendi i due rettangoli limite, quelli composti dai punti A=C e C=D con A e C corrispondenti all'intersezione della parabola con l'asse x. Hai un rettangolo che degenera in un segmento, quindi area nulla. Nelle nostre formule questo corrisponde a y=0.

Poi prendi A=B e C=D con A nel vertice della parabola e C sua proiezione sull'asse x. Hai di nuovo un rettangolo degenere di area nulla. V ha coordinate V=(-b/2a,f(-b/2a)) ovvero V(2,4) quindi nelle nostre formule corrisponde a y=4.



Quindi tu hai un intervallo (per y) [0,4] su cui vale il teorema di Rolle

f(0)=f(4)=0 e la derivata prima esiste in (0,4) (in effetti non esisteva in 4).

Al suo interno c'è un punto di estremo relativo in cui la funzione assume valore positivo e siccome un valore positivo è maggiore di 0 quell'estremo relativo è un massimo.



L'area massima per il rettangolo dato vale:



2*√(4 - y)*y con y=8/3



ovvero



A=32·√3/9



2) il punto P rispetta l'equazione della circonferenza perciò, diciamo che esplicitiamo le sue coordinate rispetto a x. C'è il problema del quadrato ma noi abbiamo sale in zucca e notiamo che i punti di cui si parla sono nel I quadrante quindi l'arco di circonferenza che ci interessa è quello a ordinata negativa (lo dovremmo capire facilmente dal disegno).



Pertanto le coordinate di P saranno P(x,-√(1-x^2))

(y^2=1-x^2 -> y=√(1-x^2) e y=-√(1-x^2), a noi interessano le ordinate negative, quindi la seconda).



A questo punto devi scrivere la formula per la distanza di P dai punti A e B e studiare la funzione.

AP = sqrt( (2-x)^2 + (0+√(1-x^2))^2 )

BP = sqrt( (0-x)^2 + (2 +√(1-x^2))^2 )



La funzione che devi studiare (con la derivata) è quella che ottieni da

AP+BP

e se permetti i calcoli non ho tempo di farteli :)



3) Per i triangoli rettangoli vale

c1^2 + c2^2 = i^2

con c1, c2 cateti



Per contro l'area vale c1*c2/2 =x*c2/2



Chiamiamo c1=x (potremmo chiamare c2=x ma il problema è evidentemente simmetrico) allora otteniamo, dal th. di Pitagora:

x^2+c2^2 = i^2

con x+i=2b quindi i=2b-x



Sostituendo i=2b-x nel teorema di Pitagora ricaviamo:

c2^2 = (2b-x)^2 - x^2



ovvero

c2 = - 2·√(b·(b - x)) e c2 = 2·√(b·(b - x))

A noi serve la seconda perché un cateto deve avere misura positiva.



Perciò la sostituiamo nella fomulina dell'area



A = x*c2/2



E otteniamo la nostra funzione da studiare.



E anche qui direi che i conti li puoi fare tu :)