Domanda:
0! ovvero qual'è significato matematico del fattoriale di zero?
anonymous
2008-04-17 12:55:52 UTC
Da anni non riesco a capire il significato matematico del fattoriale di 0 ovvero 0!=1
Per definizione
n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*(n-(n-1))
Tuttavia la precedente per n=0 darebbe
0!=0
in quanto qualunque n moltiplicato per zero è pari a zero.
L'unico modo con cui sono riuscita a dare una giustificazione al fatto che 0!=1 è per analogia considerando che se per n appartenente a N+ si ha
n!=n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*(n-(n-1))
allora si può scrivere
n!=n*(n-1)!
Per cui se consideriamo nel caso specifico in cui n=1 si ha che
1!=1(1-1)!
Ma dato che 1!=1 esplicitando dalla precedente il termine (1-1)! si ottiene che
(1-1)!=1!/1=1=0! per cui otteniamo finalmente che
0!=1
Però questa è a sua volta una forzatura di comodo finalizzata ad una "dimostrazione" estrememente debole in quanto nel caso in cui n=0
n!=n*(n-1)! ovvero 0!=0*(0-1)=ZERO e non UNO.

Qualcuno sa risolvere questo mio dilemma?
Otto risposte:
mat.3000
2008-04-17 13:03:55 UTC
precisiamo una cosa il fatto che 0!=1 si pone per definizione, come si pone per definizione che n!=n(n-1)...2 1

quindi essendo una definizione non c'è niente da dimostrare, è sbagliatissimo dimostrare che 0!=1 attraverso la formula

n!=n(n-1)...2 1, perchè sono entrambe definizioni, cioè come definisci n! definisci 0!, in pratica la definizione di n! vale solo per gli n diversi da 0 mentre per n=0 si applica la convenzionr 0!=1, spero di averti chiarito meglio le idee

ma in questo caso la definizione è ben posta cioè la definzione di n! come ti ho detto è valida solo per n diverso da 0, sono due definizioni a parte è questo che devi capire, un esempio lampante sono le successioni definite per ricorrenza e in questo caso la definizione di fattoriale è qualcosa di simile anche se non è proprio tale e quale, comunque fidati della mia risposta, io studio matematica e quindi ho a che fare con questi argomenti praticamente ogni giorno.

comunque sia provo a spiegarti la cosa in un'altra maniera

dalla definizione di n! è evidente che n! è uguale a n per il precedente di n per il precedente del precedente di n e così via, prova ad applicare lo stesso ragionamento con 0 se fai 0! dovresti fare 0 per il precedente di 0 che non esiste!!! perchè secondo gli assiomi di Peano lo zero non è il successivo di nessun numero, riesci a capire meglio adesso?
darkxifrit
2008-04-17 20:04:18 UTC
lo so che alle volte la matematica si basa su concetti di cui non si capisce la provenienza.

ho fatto la stessa domanda al mio professore (universitario della corso di laurea in MATEMATICA) e all'epoca mi rispose che è una "convenzione"...

ora non so se questo è vero oppure il prof si annoiava a spiegarmelo...ad ogni modo mi informo meglio e ti farò sapere. ti accendo una stellina!!!!





mi sono informato.

il mio professore era preparato..infatti è per definizione che 0!==1, quindi non si può "dimostrare "una definizione.

comunque grazie alla tua domanda mi sono tolto il dubbio

:D





ho letto le tue aggiunte...

allora premetto che non credo che riuscirai a trovare dei teoremi in cui si trovino delle incogruenze di cui tu parli.

semplicemente perchè la matematica la devi vedere come un palazzo, abbiamo le fondamenta, i cosiddetti assiomi,

poi il primo piano le definizioni, secondo piano teoremi, corollati, lemma( o lemmi?!no, suona brutto).

il secondo piano si appoggia sia al primo sia alle fondamenta, in modo logico.

ribadisco non riuscirai a trovare nessun teorema in cui venga contraddetto

0!=1

si fa sempre più interessante!!!!!!
GG
2008-04-18 16:21:16 UTC
E' una definizione che serve per fissare il "passo base" di una definizione ricorsiva.

Come ha ricordato qualcuno (dimostriamo per assurdo) se 0!=0 allora, visto che n!=n(n-1)! otterresti n!=0 per ogni n appartenente a N (insieme dei numeri naturali).

Ciao
Gianluca O
2008-04-18 11:52:32 UTC
Anch'io ho sempre cercato il motivo razionale di questa convenzione. Giuro che, non ricordo dove, ma una volta ho già letto la dimostrazione che hai fatto tu (cioè che 0! = 1!). Anche a me infastidiva che si postulasse qualcosa solo per comodità (per il fatto che in molte serie si incontri la forma 0!). Il problema è che, come dici tu, sembra si vada in contraddizione con la definizione di fattoriale; solo che in questo caso la forma 0! è particolare: che senso ha applicare a zero il fattoriale, cioè moltiplicare tutti i fattori in cui si scompone lo zero? Non ha piùsenso la definizione n*(n-1)*(n-2)*...*1, quindi penso tu abbia ragione cercando di ricercare, con quell'artificio, un modo alternativo di scrivere lo 0!. In pratica, penso tu abbia ragione.
Riccardo [CMA]
2008-04-18 10:22:55 UTC
Premettendo che è una definizione, è ovvio che non sia scelta a caso.

Tra l'altro, la definizione non ricorsiva di fattoriale che usi

n! = n * (n-1) * (n-2) ... è valida (specificato NELLA DEFINIZIONE) solo finché i fattori a destra sono >0. (A volte addirittura scrivono >1).

Migliore è la definizione ricorsiva, in cui cmq 0 è il caso base.



In ogni caso, torniamo alla questione principale:

vuoi un esempio "facile" (nel senso di molto intuitivo) di una incongruenza se non fosse 0!=1?



Bene... Consideriamo i coefficienti binomiali. Prendi la formula del binomio di Newton, o ancora più semplicemente chiediamoci:

In un insieme di N elementi, quanti sono i sottoinsiemi di N elementi? Ovviamente la risposta è 1.

Bene, il calcolo con i coefficienti binomiali dà



n! / (n!* 0!).



Ora credo sia lampante uno dei TANTI motivi per cui si pone per convenzione 0! = 1



:o) o almeno lo spero...
anonymous
2008-04-17 20:15:18 UTC
Ciao!

Beh, il fatto che 0!=1 è una definizione. Riporto questo estratto da Wikipedia, che esprime bene il concetto:

...per definizione si chiede poi che 0!: = 1. Questa richiesta si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad 1. Questa scelta si rivela molto utile, in quanto consente di considerare valide varie formule anche quando alcuni loro fattori hanno la forma 0!...

Spero di essere stato d'aiuto... A presto!

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Uhm... non posso aiutarti di mio, però ho trovato qualcosa che potrebbe interessarti... Controlla...

http://www.electroportal.net/vis_resource.php?section=Link&id=2927
onitna
2008-04-17 20:06:01 UTC
0!=1 per rendere esatte tutte le relazioni, infatti:

(1)

(1)=1!/1!*0!

Solo se 0!=1 si ottiene il risultato esatto.



Perchè uno non è un numero primo?

Perchè considerando uno come numero primo, molte dimostrazioni diventano impossibili.
bobby_il_pescatore
2008-04-17 20:04:20 UTC
Hai proprio ragione... ! Ma il fattoriale di 0 per definizione è uguale a 1? Per quanto ne sapessi io il fattoriale è applicabile solo con numeri naturali :I


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