Formula di duplicazione del seno:
sen(2α) = 2sen(α)cos(α)
Formula di duplicazione del coseno:
cos(2α) = cos²(α) - sen²(α)
Per la relazione fondamentale [sen²(α) + cos²(α) = 1] dalla prima formula per la duplicazione del coseno derivano le altre due:
cos(2α) = 2cos²(α) - 1
cos(2α) = 1 - 2sen²(α)
Di queste tre formule usi di volta in volta la più conveniente.
1) sen(4α) = 2sen(2α)cos(2α) = 2*[2sen(α)cos(α)][cos²(α) - sen²(α)] =
= 4sen(α)cos(α)[cos²(α) - sen²(α)]
oppure
4sen(α)cos(α)[2cos²(α) - 1]
oppure
4sen(α)cos(α)[1 - 2sen²(α)]
2) 2cos²(x) - sen(x) - 1 = 0
Se devi applicare la duplicazione, usi la seconda per il coseno:
2cos²(x) - 1 = cos(2x)
quindi sostituisci nell'equazione:
cos(2x) = sen(x)
Trasformi il seno in coseno:
sen(x) = cos(π/2 - x)
ed ottieni
cos(2x) = cos(π/2 - x)
quindi:
2x = ± (π/2 - x) + 2kπ
a) 2x = - π/2 + x + 2kπ
x = - π/2 + 2kπ = 3π/2 + 2kπ
b) 2x = π/2 - x + 2kπ
3x = π/2 + 2kπ
x = π/6 + 2kπ/3
La seconda soluzione
x = π/6 + 2kπ/3
comprende anche la prima: infatti, per k = 2 si ha
x = π/6 + 4π/3 = 9π/6 = 3π/2 = - π/2
Quindi la soluzione dell'equazione è
x = π/6 + 2kπ/3
Se tu avessi risolto applicando non le formule di duplicazione ma la relazione fondamentale, avresti trovato le soluzioni
x = π/6 + 2kπ
x = 5π/6 + 2kπ
x = 3π/2 + 2kπ
apparentemente diverse dalla soluzione ottenuta con la duplicazione. Ma:
x = π/6 + 2kπ/3 con k = 0 corrisponde a π/6
x = π/6 + 2kπ/3 con k = 1 corrisponde a 5π/6
x = π/6 + 2kπ/3 con k = 2 corrisponde a 3π/2
Il vantaggio di applicare la duplicazione è quello di avere un'unica soluzione che le comprende tutte:
x = π/6 + 2kπ/3
:)