La differenza è sottile tanto è vero che pochi la usano effettivamente.
Provo a spiegartela con un esempio.
La funzione f(x) = senx ha campo di esistenza (o insieme di definizione) l'intera retta reale. Questo perchè l'insieme IR è il massimo sottoinsieme di IR stesso in cui l'espressione che definisce la funzione ha senso. In parole semplici esiste ovunque (campo di ESISTENZA) o si può definire ovunque (insieme di DEFINIZIONE). Considerando la funzione senx con la x che varia in IR il dominio coincide con l'insieme di definizione.
Tuttavia non è detto che in un determinato problema serva usare la funzione senx definita per ogni x reale. Anzi a volte è dannoso.
Ad esempio nella costruzione che si fa per determinare un'inversa della funzione seno si fa la cosidetta operazione di riduzione (o restrizione, a seconda dei testi) del dominio. Nella fattispecie si restringe l'insieme in cui varia la x da IR all'intervallo [-pi/2,pi/2]. L'insieme di definizione è sempre tutto IR ma il DOMINIO ora è [-pi/2,pi/2].
In sostanza: il campo di esistenza o insieme di definizione nel caso di funzioni reali è il massimo sottoinsieme di IR in cui è possibile definire la funzione mediante la sua espressione analitica. Il dominio è un sottoinsieme dell'insieme di definizione che rappresenta l'insieme dei valori della x che ci interessano veramente e dipende quindi dal problema che stiamo risolvendo.
Per questo la tua (molto pignola) professoressa di analisi vuole che si usi il termine "campo di esistenza" visto che in un corso di analisi 1 immagino che non usiate le funzioni se non per i cosidetti studi di funzione in cui non ci sono particolarità che giustifichino una restrizione del dominio.
Nota: il termine "campo di esistenza", a dire il vero, è desueto. Volendo assecondare la pignoleria della tua prof, ad oggi, si userebbe principalmente il termine "insieme di definizione" però come si suol dire attacca il ciuccio dove vuole il padrone!
M.
Nota (all'altra risposta che è stata data).
Il fatto che il dominio o il campo di esistenza di una funzione sia un campo non mi sembra sia una gran notizia. Inoltre le proprietà di essere ordinato, archimedeo e continuo non sono sinonimo di campo. IR è un campo con quelle proprietà ed è un po' un prediletto per questo. A dirla tutta, se una funzione non è definita su tutto IR il suo insieme di definizione può essere pure un campo ma certamente non avrà tutte e tre quelle proprietà che, in qualche modo, identificano IR.