La disequazione è questa:



x³ - 3x + 2 ≤ 0



e la tua scomposizione è giusta:



(x +2)·(x -1)² ≤ 0



da cui:



(x +2)·(x -1)·(x -1) ≤ 0



ora paragoniamo ogni fattore allo 0:



(x +2)·(x -1)·(x -1)

. . |. . . . |. . . . |. .

. . |. . . . |. . . . '→ x -1 ≥ 0

. . |. . . . | . . . . . . x ≥ 1

. . |. . . . | . . . . . .

. . |. . . . '——--→ x -1 ≥ 0

. . | . . . . . . . . . . x ≥ 1

. . |. . . . . . . . . . .

. . '—————-→ x +2 ≥ 0

. . . . . . . . . . . . . x ≥ -2



••• Ora abbiamo 3 disequazioni che metteremo nello schemino:



a) x ≤ 1

b) x ≤ 1

c) x ≤ -2



a) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ☻———————

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .| . . . . . . . . . . . .

b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ☻———————

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .| . . . . . . . . . . . .

c) - - - - - - - - - - - - -☻———————— | ———————

. . . . . . . . . . . . . . . |. . . . . . . . . . . . . . |. . . . . . . . . . . . .

←———————— | ———————— | ——————-→

. . . . . . ↓ . . . . . . . -2 . . . . . .↓. . . . . . +1. . . . . ↓

. . . . . .(−) . . . . . . . . . . . . . (+). . . . . . . . . . . . (+)



siccome la disequazione è minore di 0, dobbiamo accettare come validi solo gli intervalli negativi, perciò gli intervalli che soddisfano la disequazione sono:



x ≤ -2 ... ma siccome nello schema c'è segnato che tra le soluzioni, è compreso anche il valore (+1)...



quindi le soluzioni di questa disequazione sono:



x ≤ -2 V x = 1



Spero di esserti stato d' aiuto... ciao...



^_^

Dopo la scomposizione otteniamo giustamente



(x + 2)·(x - 1)² ≤ 0



Il modo più rapido è quello di escludere il secondo fattore che essendo elevato al quadrato risulta essere sempre positivo al massimo nullo per x = 1 e quindi la disequazione avrà il segno del fattore (x + 2). Ma attenzione!! il verso della disequazione non è di strettamente minore per tanto bisogna proprio vedere cosa succede per x = 1 .



(1 + 2)·(1 - 1)² ≤ 0 ⇒ 3·0 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 0 ⇒VERO!!



per tanto x = 1 è soluzione della disequazione.



Studiamo solo il fattore x + 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ -2



. . . . . . . . . . . . 2. . . . . . . . . . .

- - - - - - - - - - - --●+ + + + + + + +



A noi interessa l'intervallo negativo: S = { x ≤ -2 V x = 1 }



S = (-∞ , -2] U [1]



Quando poi studierai la geometria analitica e infine lo studio di funzione, capirai che il punto x = 1 essendo punto doppio perché unica soluzione di una equazione di 2° grado , rappresenta per il grafico della funzione un punto di tangenza con l'asse x a differenza del punto x = -2 in cui la curva interseca l'asse delle ascisse.



- - - - - - - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -- - - - -



Nota



Se la disequazione fosse stata di < ossia strettamente minore di 0 , allora si procedeva come prima non contando il fattore sempre positivo ed escludendo x = 1 perché saremmo giunti ad un assurdo del tipo ⇒ 0 < 0 FALSO!! . Quindi la soluzione sarebbe stata S = { x < -2 }





Inoltre, risolvere una disequazione significa per definizione trovare i valori della variabile che rendono vera la scrittura g(x) > < 0 o g(x) ≤≥0 .

Per tanto può capitare che non sia un intervallo di valori ma un valore isolato che verifichi la disequazione!



Ad esempio



(x - 3)² ≤ 0



si sarebbe tentati a dire che è impossibile perché un quadrato è sempre positivo in realtà essa è verificata per il valore che rende nulla la quantità al quadrato ovvero x = 3



(x - 3)² ≤ 0 ⇒ S ={ x = 3 } ⇒ S = [3]



oppure per rispondere alla tua domanda



"Non riesco a capire il secondo passaggio realtivo alla restante parte della disequazione:

(x-1)^2 > 0 --> x diverso da 1. "



(x - 1)² > 0



il quadrato è sempre positivo al massimo nullo per x = 1 valore che non può essere accettato perché il verso è di strettamente maggiore (otterremmo 0>0 FALSO!!) quindi



(x - 1)² > 0 ⇒ ∀x∈ℝ - {1} ⇒



(leggi ∀x reale escluso x = 1) ⇒ x ≠ 1



Spero di essere stato chiaro.... ^___^

(x-1)^2 è sempre maggiore di 0, se non per x=1

Questo perché, essendo un quadrato, è per definizione sempre un valore positivo, e quindi sempre maggiore di zero, a meno che non sia uguale a zero. Minore di zero non può esserlo mai, per quanto detto prima.

Di conseguenza:

(x+2) (x-1)^2 <= 0

sarà vero:

per qualsiasi valore di x<=-2 -> in questo caso (x+2) è zero o negativo, mentre (x-1)^2 è, come discusso, sempre positivo, e quindi il prodotto è in ogni caso uguale a zero o negativo

oppure

per x=1 -> in questo caso (x+2) è positivo ma (x-1)^2 è uguale a zero, e quindi il prodotto è uguale a zero

Per tutti gli altri valori il risultato è maggiore di zero

studiamo il segno di (x-1)²:

essendo un quadrato,è sempre >0,eccetto nel punto 1,dove è =0.

se combini questa linea dei segni con quella di (x+2) ottieni il risultato dato.

analizziamo comunque il risultato:

-- per x<-2 è: (x+2)<0 ᴠ (x-1)²>0 ---> <0 soddisfatta

-- per x=-2 : (x+2)=0 --------------> =0 soddisfatta

-- per x>-2 : (x+2)>0 ᴠ (x-1)²>0 ----> >0 non soddisfatta,eccetto il punto x=1 dove:

---per x=1 : (x-1)² =0 ---------------> =0 soddisfatta