Puoi prendere tutti i valori di k non nulli. Infatti gli asintoti sono



verticale x = 4/k , si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero;



orizzontale y = 1/k , si ottiene rapportando i coefficienti dei termini in x di grado massimo, che stanno al numeratore e al denominatore



che sono esistenti finché k è diverso da zero.



Le iperboli sono equilatere, ma non riferite ai propri asintoti , che sono, appunto , perpendicolari.



Il valore di k per cui l'asintoto verticale è x = 1/4, è il valore k = 16 (basta porre x = 4/k = 1/4 ) ; l'iperbole è quindi





y = (x - 16)/(16x - 4) .



I punti in comune per cui passano tutte le funzioni omografiche del fascio sono



(2 , - 1/2) e (- 2 , 1/2).



Infatti il fascio di curve si può pensare generato dalle curve base seguenti, ottenibili manipolando algebricamente il fascio così:





y(kx - 4) = x - k



kxy - 4y - x + k = 0



k(xy + 1) - (4y + x) = 0 .



Le curve base, dalla cui combinazione lineare si ottiene il fascio delle funzioni omografiche, sono dunque:



xy + 1 = 0 e 4y + x = 0 , cioè l'iperbole equilatera, riferita ai propri asintoti, y = - 1/x e la retta



y = - (1/4)x .



Dall'intersezione di queste curve si ottengono i punti di cui sopra.



Gli stessi punti si possono ottenere considerando due qualsiasi curve del fascio per, poi, intersecarle: conserva però una sua maggiore generalità scoprire che , come ci si aspetta tutte le curve hanno quei punti in comune, poiché le due curve, che le generano tutte, hanno già quei due punti in comune.



Penso che basti.