Questa domanda si tratta molto semplicemente con la combinatorica.

Il numero di coppie lo si otterrà come il numero di combinazioni di 5 carte, delle quali due (e solo due) sono uguali. Dovremmo poi "scremare" i full dal numero ottenuto.

Tanto per cominciare calcoliamo il numero di coppie di Re (ad esempio).

Modi di prendere 2 re tra i 4 disponibili bin(4 2)

Modi di prendere 3 altre carte tra le rimanenti bin(48 3)

dove bin indica il coefficiente binomiale

http://it.wikipedia.org/wiki/Coefficiente_binomiale

Ora, questo stesso numero varrà per le coppie di qualunque carta, quindi moltiplichiamo per 13 (i possibili valori di una carta)

# coppie (con full) = bin(4 2)* bin(48 3) * 13



togliamo i full che sono bin(4 2) * bin(4 3) * 13 * 12 . . . . (per 12 perché scegliamo anche il valore del tris, e non può essere lo stesso della coppia)



#coppie (esclusi i full) = bin(4 2)* bin(48 3) * 13 - bin(4 2) * bin(4 3) * 13 * 12

Per la doppia coppia, sceglieremo una carta da raddoppiare, poi un'altra anch'essa da raddoppiare, e infine una che non sia nessuna delle due (per evitare, nuovamente, i full) quindi



#doppie coppie = bin(4 2) * bin(4 2) * bin (44 1) *13 * 12



il 12 per lo stesso motivo di prima

Tutto cioò, poichè bin (44 1) = 44 risulta essere



bin(4 2) * bin(4 2) *44 *13 *12



Sviluppando i calcoli i conti dovrebbero tornare, se non tornano, invece richiedi. Avrei contato io ora, ma son di fretta.

Ciao!



EDIT: giustamente ho toppato, perché, oltre a togliere i full per ottenere la probabilità di avere una coppia, devo ANCHE togliere le DOPPIE coppie...

A questo punto viene più facile seguire il suggerimento nelle tue dispense e imporre una coppia, e poi tre carte singole quindi

bin(4 2) * bin(4 1)^3 * 13 * (12 3)

Dove (12 3) è il modo di scegliere 3 valori qualunque dai 12 rimasti diversi da quello della coppia.

Per quanto riguarda la doppia coppia, invece, ho sbagliato solo di un diviso due, che era necessario perché così come è scritta, abbiamo considerato come diverse la possibilità doppia coppia di 6 e 2 e la possibilità doppia di 2 e 6 (questo perché abbiamo scritto 13*12, che sono le disposizioni di due elementi tra 13, sioè abbiamo scelto i due valori senza trascurare l'ordinamento). Per rimediare a questo compare un /2 (che è poi la differenza tra 13*12 e (13 2) ) che trasforma il 44 in un 22, riallineandoci con il tuo risultato.

Ora dovrebbe tornare tutto...

Chiedo scusa per l'erroraccio, ma questi esercizi li si sbaglia sempre, al primo tentativo, come sicuramente avrai notato :P

Servono i concetti di combinazioni , permutazioni e disposizioni del calcolo combinatorio. Ad esempio la coppia può avere uno di13 valori diversi e per ognuno si possono scegliere i semi in C4,2 modi diversi, in quanto non si può ripetere il seme e l ordine di ciascuna scelta di due semi non è significativo. Avremo allora 13*C4,2 coppie.

Poi le tre carte restanti devono avere valori diversi tra loro e singolarmente diversi dalla coppia. Possiamo formare C12,3 gruppi di valori scegliendo tra i restanti 12 valori , poiché non possiamo ripetere i valori e interessa distinguere i gruppi solo quando differiscono per almeno un valore. Infatti dobbiamo attribuire a ciascun gruppo tutte le combinazioni possibili di semi per cui una differenza di ordinamento nell ambito del singolo gruppo non cambierebbe niente nel risultato finale. Per ogni gruppo formato quando i semi scelti sono diversi l ordine conta e avremo D4,3 combinazioni differenti di semi, quando i semi sono scelti tutti uguali ( si può ora ripetere il seme perché le carte sono di diverso valore) l ordine non conta e si hanno 4 combinazioni una per seme, c è da ultimo il caso di due semi uguali e uno diverso questo è un problema di permutazioni co ripetizioni, per ogni seme scelto una volta soltanto ci sono 3*(3!/2!) combinazioni ma semi sono 4 per cui avremo 4*3*(3!/2!) combinazioni.

Riunendo tutto si ha : N° di coppie = 13*(C4,2)*(C12,3)*[(D4,3)+4+4*3*(3!/2!)] = 1.098.240

in un mazzo di carte ci sono 13 serie dei 4 valori progressivi, da asso a re, quindi per ongi "numero" hai 4 carte. Le possibili coppie sono 6 (3+2+1). Moltiplicato per 13 fa 78. Questo senza considerare le coppie come ordinate, ossia presumento che un K di cuori e uno di picche si possa considerare uguale a un K di picche e uno di cuori (l'ordine non conta).



La cifra che riporti (e che si trova sul lemma in wikipedia en) è il numero di possibili combinazioni di cinque carte che contengano una coppia, ma non è quello he hai chiesto.



Ugualmente 123552 sono le possibili combinazioni di 5 carte che possano contenere una doppia coppia qualunque, mentre invece il numero di possibili doppie coppie (quello che tu chiedi) è la combinazione senza ripetizione delle 78 coppie precedenti.



Il numero è in questo caso 78*77 --> 6006 a cui devi togliere le 13 combinazioni di coppie uguali che darebbero un poker e non una doppia coppia, quindi 5993.