Controesempio significa trovare un esempio che non verifica la Tesi.

In questo esercizio, essendo i tre teoremi ovviamente veri, dobbiamo trovare una funzione che non verifichi almeno una ipotesi altrimenti non si avrà successo.



Cominciamo con Rolle.

Ipotesi:

f(x) definita e continua in [a,b]

derivabile in (a,b)

con f(a)=f(b).

allora Esiste c∈(-1;+1) tale che f '(c)=0.

Nel controesempio eliminiamo la derivabilità in (a,b) ecco come

f(x)=|x|

essa è definita e continua in [-1,+1]

f(-1)=f(1)=1

ma è solo derivabile in (-1;0) U (0;+1) e la sua derivata vale

f '(x)=-1 per x∈(-1;0)

f '(x)=+1 per x∈(0;+1)

Quindi non esiste un c∈(-1;+1) tale che f '(c)=0.



Lagrange

Ipotesi:

f(x) definita e continua in [a,b]

derivabile in (a,b)

allora Esiste c∈(a;b) tale che f '(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

Nel controesempio eliminiamo la continuità in (a,b) ecco come

f(x)=[x] parte intera di x cioè

{f(x)=0 per x∈[0,1)

{f(x)=1 per x∈[1,2)

{f(x)=2 per x=2

essa è definita in [0,+2] ed

f(2)=2

f(0)=0

ma è solo derivabile in (0;1) U (1;2) e la sua derivata vale

f '(x)=0 per x∈(0;1) U (1;2)

Quindi non esiste un c∈(1;2) tale che

f '(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)=(2-0)/(2-0))=1



Fermat

f(x) definita e continua in [a,b]

derivabile in (a,b)

se Esiste c∈(a;b) tale che c è un estremo locale allora f '(c)=0.

Nel controesempio eliminiamo la derivabilità in (a,b) ecco come

f(x)=|x|

essa è definita e continua in [-1,+2]

e possiede un punto c di minimo locale per c=0

essa derivabile in (-1;0) U (0;2) e la sua derivata vale

f '(x)=-1 per x∈(-1;0)

f '(x)=+1 per x∈(0;+2)

Quindi non esiste un c∈(-1;+1) tale che f '(c)=0.