1)
Hai
f : Z → Z, f(x) = x²+3x–7
g : N → Q, g(x) = x–4
a) Non è possibile definire g◦f perché p.es. f(0) = –7 non è elemento del dominio di g, quindi g◦f(0) non è definito.
b) “descrivere in Z la relazione di equivalenza R associata ad f ”.
La funzione f : Z → Z, definisce una relazione in Z che NON è di equivalenza.
Tale relazione è la seguente:
x R y <==> y = f(x) <==> y = x²+3x–7
Questa R non è di equivalenza p.es. perché non è neppure riflessiva: non è vero che x R x per ogni x ∈ Z, perché non è vero che x = f(x) per ogni x ∈ Z.
Forse c’è un errore nel testo, o forse avete una definizione di “relazione associata a una funzione” diversa da quella che conosco io.
c) X = {–6, –5, –4, –3, 0, 1, 2, 3} ⊆ Z
f(–6) = 11
f(–5) = 3
f(–4) = –3
f(–3) = –7
f(0) = –7,
f(1) = –3
f(2) = 3
f(3) = 11
Quindi, in X, –5 R 3, –4 R –3, 1 R –3, 2 R 3.
Non è possibile parlare di partizione di X perché R non è relazione di equivalenza in X.
2a) I = N.
n R m <==> n–m ∈ N
non è rel. d’eq. in Z perché è riflessiva, transitiva, ma NON è simmetrica
2b) I = ={3h: h ∈ Z} = 3Z
n R m <==> n–m ∈ 3Z
è rel. d’eq. in Z perché è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Verifica:
i) pr. riflessiva: per ogni n ∈ Z
n–n = 3•0 ==> n R n
ii) pr. simmetrica: per ogni n, m ∈ Z
n R m ==> n–m = 3h ==> m–n = 3(–h) ==> m R n
iii) pr. transitiva: per ogni n, m, ℓ ∈ Z
n R m , m R ℓ ==> n–m = 3h , m–ℓ = 3k ==> n–ℓ = n–m+m–ℓ = 3(h+k) ==> n R ℓ
Z/R = {[0], [1], [2]} è formato da 3 classi di equivalenza, che sono le "classi di congruenza (mod 3)":
[0] = {..., –6, –3, 0, 3, 6, ...}
[1] = {..., –5, –2, 1, 4, 7, ...}
[2] = {..., –4, –1, 2, 5, 8, ...}
ciao
P.S. Controlla 1b).