Sviluppa e ottieni:



kx²+ky²-2kx-x+2ky+y+k+1=0------->

Raccogli i termini con k:



k(x²+y²-2x+2y+1)-x+y+1=0

Generatrici:



x²+y²-2x+2y+1=0



x-+y+1=0 Asse radicale.



Osserva che l'asse radicale lo puoi ottenere anche annullando i termini di 2° grado, questo si ottiene per k=0;

avrai:-x+y+1=0



Punti base:basta intersecare l'asse radicale con la circonfernza generatrice:

quindi poni a sistema asse radicale e circonferenza:



[y=x-1

[x²+x²-2x+1-2x+2x-2+1=0---->



2x²-2x=0--->x²-x=0---->



x(x-1)=0---->x=0 ;x=1



Per x=0 avrai:

[x=0

[y=-1------>A(0;-1) 1°punto base



per x=1--->



[x=1

[y=0---->B(1;0) 2°punto base



La retta dei centri è l'asse di AB--->



L'equazione dell'asse è:

(X-Xa)²+(Y-Ya)²=(X-Xb)²+(Y-Yb)²

dove Xa;Ya;Xb;Yb sono le coordinate di A e di B;

sostituendo avrai:



x²+(y+1)²=(x-1)²+y²---->



x²+y²+2y+1=x²-2x+1+y²---->



y=-x Retta dei centri.



Per l'appartenenza del centro alla retta y=-2x+3 scrivi l'equazione del fascio come segue:(dividi per k)



x²+y²-[(2k+1)/k]+[(2k+1)/k]+1+1/k=0



Le coordinate di C centro del fascio sono:



C[(2k+1)/2k;(-2k-1)/2k]

imponi che le coordinate di C soddisfano l'equazione y=-2x+3---->



(-2k-1)/2k=[(-2k-1)/k]+3----->



-2k-1=-4k-2+6k--->



4k=1--->k=1/4



Tangenza alla retta y=x:

Sistema tra la retta y=x e l'equazione del fascio:



[y=x

[kx²+kx²-2kx-x+2kx+x+k+1=0--->



2kx²+k+1=0

Per la tangenza il Delta di questa equazione deve valere zero:



D=0--->-8k(k+1)=0---->



k=0 NO

k=-1



2° esercizio:



Le coordinate del centro sono:



C(-2k;(4+k)/2)



L'ascissa deve valere 4----->



-2k=4--->k=-2



Generatrici del fascio:



1°:x²+y²-4y+4=0

circonferenza di centro C(0;2) e raggio r=0,quindi il punto C stesso.

2°:4x-y+2=0 asse radicale

Le circonferenze hanno un solo punto base C e risultano tangenti all'asse radicale.





I restanti risultati sono esatti .



Ciaoo....

1) Essendo:

k(x^2+y^2-2x+2y+1) = 0

x - y - 1 = 0

L'asse radicale è la retta di equazione x - y - 1 = 0 ovvero y = x - 1



Mettendo a sistema con l'equazione della crf, ottieni le coordinate dei punti base:

La risolvente è:

2x^2-2x+1-2x+2x-2+1 = 0

2x^2-2x = 0

2x(x-1) = 0

x1 = 0

y1 = x-1 = -1

A(0;-1)

x2 = 1

y2 = x-1 = 0

B(1;0)

Le crf sono secanti in A e in B

Abbiamo già trovato l'equazione dell'asse radicale.

La retta dei centri è perpendicolare all'asse radicale che ha coeff angolare m = 1, ha coeff angolare m = -1 e passa per C(1;-1)

la sua equazione è

y + 1 = -(x-1)

y = -x (bisettrice del 2 e 4° quadrante)



a) Se il centro C che sta sulla y = -x sta pure sulla y = -2x+3, fmettendo a sistema le due equazioni ottieni le coordinate di C:

{y = -x

{y = -2x+3

C(3;-3)

Ti basta imporre la xC = (2k+1)2k = 3 e ottieni:

k = 1/4



b) Se la crf il cui centro sta sulla b2,4 di equazione x+y = 0 deve essere tangente alla b1,3 di equazione x-y = 0, l'unico punto di intersezione delle due rette è l'origine O(0;0)

Dunque la crf passa per O e in questo caso k = -1



L'unica crf degenere è l'asse radicale. Non vi sono crf con raggio nullo perché:

C[(2k-1)/2k; -(2k-1)/2k]

c = (k-1)/k

Essendo r^2 = xC^2+yC^2-c = 2k^2+2k+1, ∆/4 risulta < 0



2)

L'equazione dell'asse radicale è esatta.



Retta dei centri con m = -1/4 e passante per C(0;2)

y-2 = -x/4

4y-8 = -x

x+4y-8 = 0

L'equazione della retta dei centri è esatta.



Se la crf ha centro di ascissa = 4

xC = -2k = 4

k = -2



Una crf degenere è l'asse radicale

L'altra pure è esatta perché di raggio nullo. Infatti risulta

r^2 = xC^2+yC^2-c = 0+4-4 = 0



Ciao

Fai un equivalenza con kx2con c? - km 4,che di esce kit facile