La prova del 9!
Abbiamo già notato che la somma delle cifre di un qualsiasi numero dia come risultato il suo resto nella divisione per 9. Ciò avviene perché nel nostro sistema di numerazione, 9 è il maggiore tra i numeri che si possono scrivere con una cifra soltanto.
Si può osservare che la divisione di 10 per 9 dà resto 1 (10=9+1 e 9 è divisibile per 9) e così la divisione di 100 per 9 (100=99+1 e 99 è divisibile per 9), di 1000 per 9 (1000=999+1), e così via. La somma delle cifre di 10, 100, 1000, è ovviamente 1.
Ma succede sempre anche che 20, 200, 2000, ecc, hanno resto 2 nella divisione per 9? Certamente, visto che 20:9=(10+10):9=10:9+10:9 e così abbiamo resto 1 dal primo addendo, resto 1 dal secondo e il resto complessivo è proprio 1+1=2.
Dunque stesso discorso per 30, 300, 3000, ..eccetera, eccetera.
Conclusione preso un qualunque numero, possiamo determinare il suo resto nella divisione per 9 semplicemente sommando le sue cifre.
Esempio: 7483=7000+400+80+3.
Per quanto osservato sopra abbiamo resto 7 dal primo addendo, 4 dal secondo, 8 dal terzo e 3 dall'ultimo: 7+4+8+3=22. Ma un numero diviso 9 non può avere un resto maggiore di 9; questi 22 oggetti che mi sono rimasti devono ancora essere divisi per 9 e così potrò vedere quanti me ne restano. Ma allora, per determinare il resto di 22 per 9 posso sommare le cifre: 2+2=4 e questo è il resto sia di 22 sia di 7483 nella divisione per 9.
La prova del 9 dunque viene fatta perché è molto semplice determinare il resto della divisione di un numero per 9 (basta sommare le sue cifre ripetutamente finché non resta un numero ad una sola cifra), in più "sbagliare" di un multiplo di 9 è cosa abbastanza rara.