Il triangolo OPT è rettangolo in T perché la tangente, nel punto di tangenza, è sempre perpendicolare al raggio. Allora applicando il teorema di Pitagora:



PT = √(OP²-OT²) = √(75²-45²) = √(5625-2025) = √3600 = 60 cm



Essendo l'angolo in T retto, allora anche il triangolo RPT è rettangolo in T quindi si può applicare ancora Pitagora per trovare RP:



RP = √(PT²+RT²) = √(60²+90²) = √(3600+8100) = √11700 ≈ 108 cm



perimetro(OPR) = OR+OP+RP = 45+75+108 = 228 cm



Per trovare l'area di OPR si può considerare come base il lato OR e l'altezza ad esso relativa non sarà altro che PT, dunque



Area(OPR) = OR*PT/2 = 45*60/2 = 1350 cm²



~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~



Se l'angolo OPT è di 30° e l'angolo OTP è di 90° (perché il segmento di tangente è sempre perpendicolare al raggio!) allora l'angolo al centro TOP sarà di 60°, infatti dovendo essere 180° la somma degli angoli interni di un triangolo, si avrà



TOP = 180°-(30°+90°) = 180°-120° = 60°



Per le note proprietà del triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°, si ha che



OP = 2*OT = 2*120 = 240 cm



Applicando Pitagora:



TP = √(OP²-OT²) = √(240²-120²) = √(57600-14400) = √43200 ≈ 207 cm



Perimetro = OT+OP+TP = 120+240+207 = 567 cm



Area = OT*TP/2 = 120*207/2 = 12420 cm²

1-OPT=triangolo rettangolo in T

perche' le tangenti sono perpendicolari

ai raggi

Troviamo PT con Pitagora

PT=rad(OP^2-r^2)

PT=rad(5625-2025)

PT=rad3600=60 cm

Anche il triangolo RTP e' rattangolo

e possiamo trovare PR

Troviamo PR con Pitagora

PR=rad(RT^2+PT^2)

PR=rad(8100+3600)

PR=rad11700=108,16..cm



Perimetro=75+45+108,16=228,16 cm



Area=A(PTR-POT)

A(PTR)=90*60/2=2700 cm^2

A(POT)=60*45/2=1350 cm*2



Area=1350 cm^2



2-OPT=triangolo rettangolo

come per il punto 1-

Se un angolo e' 30*, l'alto acuto sara' 60*

Questo e' un triangolo meta' di uno equilatero

il cateto opposto all'angolo di 30* e'

OT=OP/2

OT=raggio=120 cm

120=OP/2

OP=240 cm

PT=rad(240^2-120^2)

PT=rad(57600-14400)

PT=rad43200=207,8 cm

Perimetro=120+240+207,8=567,8 cm

mp

1) allora il triangolo è rettangolo, perché il raggio che va al punto T di tangenza è perpendicolare alla tangente. Puoi benissimo applicare Pitagora per trovare TP, cioè facendo:

(radice quadrata)OP(alla seconda)-OT(alla seconda).

questo perché Tp è un lato minore del triangolo RETTANGOLO.



perciò TP misura 60



il perimetro(che io chiamerò 2P) si trova semplicemente facendo lato+lato+lato(2P del problema: 180)



l'area si trova (x il triangolo rettangolo eh!) facendo

(cateto per cateto) diviso 2

perciò l'area dovrebbe essere: (45x60):2 = 1350











2)

allora questo triangolo è particolare, è la squadra da 30° e 60°.

il lato + corto è la metà esatta del lato + lungo. visto che il lato + corto è = al raggio, OP misurerà il doppio(cioè 240)

e x trovare l'altro lato applichi Pitagora anche qui:

(radice quadrata)Op(alla seconda)-OT(alla seconda)

dovrebbe essere 208 circa approssimato

il 2P dovrebbe essere (lato+lato+lato) 568

area(cateto x cateto):2 dovrebbe essere 12480



nn so se sono giusti i risultati io li ho risolti cm li facciamo noi in classe!!!





REGOLE GENERALI:

Pitagora

IPOTENUSA=(rad quadr)cateto(alla seconda)+cateto(alla seconda)

CATETO1=(rad quadr)ipo(alla seconda)-cateto2(alla seconda)

CATETO2=(rad quadr)ipo(alla seconda)-cateto1(alla seconda)





il raggio è sempre perpendicolare alla tangente e al punto T di tangenza



se c'è un angolo da 30° e il triangolo è rettangolo, il lato corto è la metà del lato + lungo



x i triangoli rettangolo:

2P:lato+lato+lato

A:(cateto x cateto):2