PROBLEMA # 1
Così com'è scritto, il testo ha troppo pochi vincoli e propone un problema indeterminato, con infinite soluzioni.
L'equazione generica di una conica è (con sei coefficienti-parametri)
* p*x^2 + 2*r*x*y + q*y^2 + 2*a*x + 2*b*y + c = 0
La condizione d'essere iperbole impone il vincolo
* r^2 > p*q
Le condizioni che fissano un fuoco e un punto impongono altri due vincoli.
Ma resta comunque una buona dose d'inteterminazione.
PROBLEMA # 2
A) RIDUZIONE ALLA FORMA NORMALE STANDARD
A1) Completare il quadrato dei termini in y.
* - 4*y^2 - 32*y = 64 - 4*(y + 4)^2
A2) Sostituire e ridurre.
* 9*x^2 - 4*y^2 - 32*y - 100 = 0 ≡
≡ 9*x^2 + 64 - 4*(y + 4)^2 - 100 = 0 ≡
≡ 9*x^2 - 4*(y + 4)^2 = 36
A3) Dividere membro a membro per il secondo membro.
* 9*x^2 - 4*(y + 4)^2 = 36 ≡
≡ x^2/4 - (y + 4)^2/9 = 1 ≡
≡ Γ ≡ (x/2)^2 - ((y + 4)/3)^2 = 1
A4) Riconoscimento della conica e dei suoi parametri.
L'equazione ottenuta
* Γ ≡ (x/2)^2 - ((y + 4)/3)^2 = 1
rientra nella forma normale standard delle coniche a centro con assi di simmetria paralleli a quelli coordinati
* Γ(α, β, a, b) ≡ ((x - α)/a)^2 ± ((y - β)/b)^2 = ± 1
da cui si ricavano
* centro C(α, β)
* semiassi (a, b)
* tipo di conica, secondo la configurazione dei doppi segni:
** (±, ±) = (-, -) per iperbole con fuochi sull'asse x = α
** (±, ±) = (-, +) per iperbole con fuochi sull'asse y = β
** (±, ±) = (+, -) per ellisse immaginaria
** (±, ±) = (+, +) per ellisse reale
*** con fuochi sull'asse x = α, se a < b
*** con fuochi nel centro, se a = b (circonferenza)
*** con fuochi sull'asse y = β, se a > b
Quindi l'equazione ottenuta rappresenta una iperbole con
* centro C(0, - 4)
* semiassi (2, 3)
* fuochi sull'asse y = - 4
B) RISPOSTA AL PRIMO QUESITO
assi: x = 0; y = - 4.
centro: C(0, - 4)
vertici: V(± a, - 4) = (± 2, - 4)
semidistanza focale: c = √(a^2 + b^2) = √13
fuochi: F(± c, - 4) = (± √13, - 4)
eccentricità: e = √(1 + (b/a)^2) = √13/2
Vedi il paragrafo "Properties" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plane+curve+9*x%5E2-4*y%5E2-32*y-100%3D0
C) RISPOSTA AL SECONDO QUESITO
L'iperbole Γ ha due intersezioni distinte con ogni retta
* r(k) ≡ x = k > 2
che sono soluzioni del sistema
* r(k) & Γ ≡ (x = k) & ((x/2)^2 - ((y + 4)/3)^2 = 1) ≡ (k, (- 8 ± 3*√(k^2 - 4))/2)
e distano
* d(k) = 3*√(k^2 - 4)
Per ottenere una corda di lunghezza 20/3, il valore di k dev'essere la radice di
* (k > 2) & (20/3 = 3*√(k^2 - 4)) ≡ k = (2/9)*√181 ~= 2.98969
Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%3D(2%2F9)*%E2%88%9A181)%26((x%2F2)%5E2-((y%2B4)%2F3)%5E2%3D1)
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v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita-lo-spareggio-scegli-la-miglior-risposta/