Nello studio di funzioni, utilizzi i limiti per vedere come la funzione si comporta agli estremi dell'intervallo in cui è definita. Ad esempio, se una funzione è definita su tutto R, puoi calcolare il limite di f(x), per x che tende a + o - infinito, così sai come disegnare il grafico. In pratica il risultato del limite ti dice come si comporterà f, quando x si avvicina al
valore considerato.
Per calcolare i limiti, esistono delle regole precise, in particolare devi imparare i limiti notevoli.
Una funzione è quell'applicazione che fa corrispondere ad ogni valore della x uno ed un solo valore della y..ovvero detto in parole povere se tu tracci delle rette parallele all'asse delle y, queste devono incontrare la funzione una sola volta oppure non incontrarla mai! diciamo che questa è la definizione piu sintetica che si possa fare...quindi devi immaginarti due insiemi: uno delle x (ovvero delle controimmagini) e une delle y( ovvero delle immagini); pertanto ad ogni controimmagine deve corrispondere una sola immagine( ovvere deve esserci una relazione biunivoca)
DERIVATA
In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/ba/Tangency_Example_3.svg/300px-Tangency_Example_3.svg.png
Descrizione
Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione f in un punto x0 è la misura della pendenza (il coefficiente angolare, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo fra la retta tangente il grafico di equazione y = f(x) e il semiasse positivo delle ascisse) della retta tangente la funzione in x0. Da ciò si può capire che se la derivata è uguale a zero, allora la retta tangente al grafico di equazione y = f(x) risulta essere parallela all'asse delle ascisse, mentre se la derivata tende a infinito, allora la retta tangente al grafico di equazione y = f(x) sarà parallela all'asse delle ordinate.
La funzione derivata si ricava con un gruppo di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.
Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto al grafico della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta (in linea di massima, può non essere possibile disegnare alcun grafico). Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto; si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti; le derivate parziali sono evidentemente tante quante sono le variabili stesse, ed una loro notevole proprietà è che, se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolare la pendenza lungo una direzione qualunque combinando linearmente nel modo opportuno le derivate parziali stesse.
Questo è possibile perché l'"operatore derivata" è un operatore lineare, cioè la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Graph_of_sliding_derivative_line.gif
Definizione e notazioni
In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x0 è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.
Più precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x0 si dice derivabile nel punto x0 se esiste ed è finito il limite:http://upload.wikimedia.org/math/e/e/1/ee15449bd44db6f1c1cfffa6f368134a.png ed il valore di questo limite prende il nome di derivata della funzione nel punto x0. Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un dato intervallo (a, b), allora si dice che essa è derivabile in (a, b), e la funzione f' (x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x è la funzione derivata di f.
La derivata nel punto x0 viene indicata con uno dei seguenti simboli:
Secondo la notazione di Lagrange
http://upload.wikimedia.org/math/9/a/6/9a6513e488969e5dd083466ad908d181.png
Secondo la notazione di Cauchy
http://upload.wikimedia.org/math/b/d/1/bd121f1d4a464dad85bce7dd7a7af44d.png
Secondo la notazione di Leibniz:
http://upload.wikimedia.org/math/9/1/4/914f3f71f2e6eb6218a3df8134f01a97.png
La prima che compare storicamente:
http://upload.wikimedia.org/math/8/f/d/8fd5faf0d2e78ac7900edefd4ea774e5.png
ancora oggi usata in fisica.
Secondo la notazione di Newton:
http://upload.wikimedia.org/math/9/5/c/95c5402dfe95cb2de271befeae7cfca4.png