Il metodo di Cramer si basa sui determinanti. I determinanti sono definiti solo per matrici quadrate. In questo caso la matrice dei coefficienti è del tipo 4x2 quindi non possiamo usare Cramer. A meno che alcune delle equazioni siano equivalenti a qualcun altra, in tal caso possiamo cassarle.

Osserviamo che la 4° equazione



3/4x + 1/2y = -1 

3x+2y=-4

è esattamente uguale alla terza, quindi abbiamo a che fare con un sistema di 3 equazioni in 2 incognite

{-4x + 3y = 11

{2/3x - 1/2y = 2 

{3x + 2y = -4

La matrice dei coefficienti è del tipo 3x2 per cui Cramer è ancora da escludere.

Ma,

risolviamo il sistema di due equazioni nelle due incognite e verifichiamo se l'eventuale soluzione soddisfa la terza. Come due equazioni scegliamo la prima e l'ultima.

{-4x+3y=11

{3x+2y=-4

Ora ci siamo ricondotti ad un sistema (non equivalente alla 3x2) del tipo 2x2 quindi ora si, possiamo applicare Cramer.

(-4...3)

(3....2)=A matrice dei coefficienti

det(A)=-8-9= -17



Calcolo della x.

Sostituiamo la prima colonna con la colonna dei termini noti

(11...3)

(-4...2)=Aᵪ

det(Aᵪ)=34

x=det(Aᵪ)/det(A)=34/-17= -2



Calcolo della y. (Usiamo Cramer sebbene il metodo più rapido è la sostituzione)

Sostituiamo la prima colonna con la colonna dei termini noti

(-4..11)

(.3..-4)=Aᵧ

det(Aᵧ)=34

y=det(Aᵧ)/det(A)=-17/-17= 1



La soluzione x=-2 & y=1 è una soluzione della seconda equazione?

Se si, allora quest'ultima è la soluzione del sistema dato.

Se no, allora il sistema dato non ammette soluzioni

2/3x - 1/2y = 2 (x=-2 & y=1)

-4/3-1/2 ≟ 2

-11/6  ≟ 2 NO. 



Il sistema non ammette soluzioni.

1) Il sistema è già in forma normale







la matrice principale è [-4 3; 2/3 -1/2]





la colonna n dei termini noti è [11 2]'







Il determinante del sistema è





D = ad - bc = (-4)*(-1/2) - 2/3*3 = 2 - 2 = 0







per cui il sistema è singolare





(indeterminato o impossibile)







essendo poi Dx = det ( [11 3;2 -1/2] ) = 11*(-1/2) - 3*2 =





= -11/2 - 6 = - 23/2 =/= 0







concludiamo che il sistema è impossibile







Del resto se moltiplichi per - 6 la II equazione





viene    - 4x + 3y = - 12





che è incompatibile con  - 4x + 3y = 11.











2) Svolgiamo allo stesso modo l'altro esempio







La matrice principale è





[ 3 2; 3/4 1/2 ]



la colonna dei termini noti è n = [ -4 - 1]'





e D = ad - bc = 3 * 1/2 - 2*3/4 = 3/2 - 3/2 = 0







e anche questo sistema è singolare.







Sappiamo già che è indeterminato





perchè moltiplicando per 4 la II equazione





si ha   3x + 2y = - 4





che risulta identica alla prima e quindi può essere





eliminata.







Per riscontro con Cramer, calcoliamo





Dx = det([ -4 2; -1 1/2 ]) = -4*1/2 - 2*(-1) = -2 + 2 = 0





Dy = det([ 3 -4; 3/4 -1 ]) = 3*(-1) + 4*3/4 = -3 + 3 = 0







Dx = Dy = D = 0   =>  il sistema è indeterminato.

Già ieri uno ha postato una panzana analoga.



Il metodo Cramer con frazioni è esattamente uguale a quello senza frazioni.  Ti spaventerai mica per così poco...!?



In alternativa puoi moltiplicare ogni equazione per il suo mcm.

Provare per credere...