Il fatto che le prorietà associativa, commutativa, distributiva ecc. si usino per definire certe strutture algebriche non vuol dire che non si possano dimostare.
Per chiarire meglio il concetto:
- Un gruppo abeliano è, per definizione, una struttura commutativa. In questo caso la commutatività è presa come assioma, nel senso che si dà per scontata all'atto di definire la struttura, e quindi non si richiede di dimostrarla.
- Un gruppo ciclico è sempre commutativo. In questo caso, però, la commutatività non è un assioma, ma deriva dalle altre proprietà con cui è stata definita la struttura di gruppo ciclico. Pertanto è un teorema che va dimostrato.
Nella teoria dei numeri, in particolare, la commutatività della somma non è un assioma, ma deriva, per i naturali, dalla commutatività dell'operazione di unione di insiemi, e per gli altri insiemi numerici dalla commutatività dei naturali (più precisamente, la commutatività degli interi segue da quella dei naturali, la commutatività dei razionali da quella degli interi, la commutatività dei reali da quella dei razionali, e la commutatività dei complessi da quella dei reali).
Per farti un esempio, ti dimostro la commutatività dei complessi a partire da quella dei reali.
La somma tra complessi è definita nel modo seguente:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)
In base alla definizione,
(c + id) + (a + ib) = (c + a) + i(d + b)
Ma le operazioni tra parentesi sono somme di reali, per cui
(c + id) + (a + ib) = (c + a) + i(d + b) = (a + c) + i(b + d) = (a + ib) + (c + id)
che è quanto si doveva dimostrare.
PS Le "dimostrazioni" di Tragica Illusione sono tutte e due sbagliate.
In (1) sta solo dimostrando che -(b + a) è l'opposto di (b + a), che è ovviamente vero, ma non è la proprietà commutativa.
In (2) sta dimostrando che se a * b = b * a allora 1 = (b*a)/(a*b). Anche questo è vero, ma neanche questo dimostra la proprità commutativa (quello che fa è prenderla come ipotesi per dimostrare un'altra cosa).
Dettagli aggiuntivi
La tua dimostrazione è interessante, ma è per forza di cose sbagliata. In effetti, per dimostrare la commutatività della somma in R non hai fatto uso di nessuna proprietà peculiare dei numeri reali, ma hai solo richiesto l'esistenza dell'opposto di a + b, dell'elemento neutro 0, e la validità della proprietà associativa che permette di calcolare a + b - b - a come a + (b - b) - a. Queste sono le proprietà che definiscono un gruppo. Ma allora, se la tua dimostrazione fosse corretta, potresti dimostrare allo stesso modo che tutti i gruppi sono commutativi, cosa che sappiamo bene non essere vera.
È ovvio quindi che nel tuo ragionamento ci deve essere un errore che, va detto a onor del vero, risulta abbastanza nascosto.
Si tratta di questo: nella tua dimostrazione, da a + b ≠ b + a, hai dedotto a + b - b - a ≠ 0, e questo non si può fare. Infatti l'opposto di b + a non è - b - a, ma è - a - b. Il motivo è che, per l'appunto, b + a - a - b = 0, mentre b + a - b - a è uguale a zero solo se vale la proprietà commutativa.
Se prendi come esempio di operazione non commutativa il prodotto di matrici, noterai in effetti che l'inverso del prodotto AB non è definito come (AB)^-1 = A^-1B^-1, ma come B^-1A^-1. Il fatto che noi si scriva abitualmente -(a + b) = - a - b, e (ab)^-1 = a^-1b^-1, è perché siamo soliti lavorare con strutture commutative, in cui l'ordine dei termini non influisce sul risultato. Il passaggio corretto era dunque a + b ≠ b + a --> a + b - a - b, e questo è in effetti generalmente ≠ 0, a meno che non valga la proprietà commutativa. In pratica, hai dimostrato una cosa che hai preso come ipotesi.
La dimostrazione corretta della proprietà commutativa della somma di numeri reali (a partire dalla commutatività dei razionali) è un po' laboriosa, perché bisogna far riferimento alla definizione dei numeri reali come sezioni del campo razionale (e per questo ho preferito usare come esempio quella dei numeri complessi, che è praticamente immediata).
Comunque posso cercare di riassumerla in poche parole.
Siano a, b due numeri reali definiti come sezioni (A1, A2), (B1, B2) del campo razionale. La somma a + b è definita come la sezione (F, G) del campo razionale in cui la classe G è formata da tutte le somme di razionali a2 + b2, con a2 є A2 e b2 є B2, mentre la classe F è formata dai restanti razionali.
Da questa definizione discende immediatamente la commutatività dei reali, perché il numero b + a ha come classe G l'insieme di tutte le somme b2 + a2, con a2 є A2 e b2 є B2, e dato che a2 + b2 = b2 + a2 perché stiamo supponendo che la somma di razionali sia commutativa, la classe G è la stessa per a + b e per b + a, che quindi sono uguali.