Imposti la rotazione di assi:
{x = Xcos α - Ysen α
{y = Xsen α + Ycos α,
sostituisci nell’equazione:
(Xcos α - Ysen α)^2 + 9(Xsen α + Ycos α)^2 – 2(Xcos α - Ysen α)(Xsen α + Ycos α) = 1
X^2cos^2 α + Y^2sen^2 α – 2XYsen α cos α + 9X^2sen^2 α + 9Y^2cos^2 α + 18XY sen α cos α – 2X^2sen α cos α – 2XYcos^2 α + 2XYsen^2 α – 2Y^2 sen α cos α = 1
X^2(cos^2 α + 9sen^2 α - 2 sen α cos α)+ Y^2(sen^2 α + 9cos^2 α - 2sen α cos α) + 2XY (9sen α cos α – cos^2 α + sen^2 α) = 1
Affinché questa equazione possa equivalere alla formula canonica dell’ellisse:
X^2 / a^2 + Y^2 / b^2 = 1,
bisogna che:
9sen α cos α – cos^2 α + sen^2 α = 0
Dividendo per cos^2 α, sicuramente diverso da zero (se lo fosse, allora α = 90° e l’equazione data non avrebbe avuto il termine in xy):
tg^2 α + 9tg α – 1 = 0
delta = 81 + 4 = 85
(tg α)1 = (-9 - √85) / 2, da cui α1 = arctg[(-9 - √85) / 2]
(tg α)1 = (-9 + √85) / 2, da cui α2 = arctg[(-9 + √85) / 2].
Per giungere alle coordinate dei fuochi bisogna ricavare c^2 = a^2 – b^2, dove a^2 e b^2 sono rispettivamente:
a^2 = 1 / (cos^2 α + 9sen^2 α - 2 sen α cos α)
b^2 = 1 / (sen^2 α + 9cos^2 α - 2sen α cos α)
Sostituisci uno dei valori degli angoli trovati e poi concludi.
OPPURE
Se hai studiato gli "invarianti", si può abbreviare impostando e risolvendo il seguente sistema:
{a’c’ = ac – b^2
{a’ + c’= a + c
dove a, b, c entrano in: ax^2 + 2bxy + cy^2 + f = 0
e a’, c’ in: a’X^2 + c’Y^2 + F = 0.
{a’c’ = 1*9 – 1
{a’ + c’= 1 + 9
{a’c’ = 8
{a’ + c’= 10
z^2 – 10z + 8 = 0
delta/4 = 25 – 8 = 17
z1 = (5 - √17) = a’
z2 = (5 + √17) = c’
F = Δ / δ = -8 / 8 = -1.
Nuova equazione ellisse:
(5 - √17)X^2 + (5 + √17)Y^2 = 1, per cui:
a^2 = 1 / (5 - √17)
b^2 = 1 / (5 + √17).
Dalle ultime ricavi c^2 e poi le coordinate dei fuochi.