La calcolatrice esegue approssimazioni, non calcoli veri e prorpi, in quanto gli operatori che tu hai citato, utilizzano numeri dell'insieme R, un insieme che nella realtà non può essere utilizzato (tutte le calcolatrici e i pc approssimano a numeri razionali, cioè le divisioni tra numeri interi)
faccio un esmpio:
quanto fa 2.345 + 4.123???
mettiamo in colonna le cifre e calcoliamo partendo da destra e andando verso sinistra giusto (faccio notare che i numeri che ho inserito sono dei numeri razionali, k cioè possono essere descritti come divisione di numeri interi)
2.345 +
4.123 =
-----------
6.468
molto semplice no?
proviamo ora a calcolare e + e (dove con e intendiamo il numero reale per eccellenza, ovvero il numero di nepero)
bhè la risposta più precisa è sicuramente 2e, ma noi vogliamo fare l'operazione in colonna con numeri arabi e non simboli moderni:
e=2.718281828....
quindi:
2.718281828... +
2.718281828 =
-----------------------
??????
come facciamo a partire da destra????? dove finisce il numero??? esso prosegue l'infinito e quindi non possiamo calcolare!!
la calcolatrice esegue l'operazione troncando ad un certo numero di cifra decimale: arriva fino ad un certo numero di cifre e quelle dopo le butta via....
detto questo, il calcolo di un numero razionale (la troncatura di un numero reale) avviene per il calcolo in qualsiasi base:
1. in primo luogo la calcolatrice applica la regola del cambio di base dei logaritmi, trasformando un logaritmo qualsiasi nel logaritmo di nepero ln. Mediante un sistema di approssimazione della curva, detto formula di Taylor, o di Mac-Laurin, la calcolatrice trasforma il logaritmo in una funzione lineare, cioè in un polinomio di questo tipo:
ln (x+1)= Polinomio di Taylor + errore
(modificando i dati in modo tale che l'1 sia compreso) l'errore è un errore di approssimazione legato al grado del polinomio di taylor, che, anche se nella matematica teorica è importantissimo, nella matematica approssimativa della calcolatrice, questo errore, essendo il grado del polinomio molto alto (grado 10, 15, non so con precisione) può essere trascurato:
il polinomio di taylor di ln x è:
sommatoria (da n=0 a inf) di [(-1)^n] [(x^n)/n]
che è come dire
x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+[(-1)^n] [(x^n)/n]
questo tipo di polinomio è molto facile da calcolare per la calcolatrice: 2.al posto di x mette il valore che tu hai inserito all'inizio e calcola praticamente una somma di risultati!!!
il calcolo di radici avviene sempre con processi di approssimazione e trasformazione di radice in calcoli molto più semplici (alla fine il tutto è trasforato nelle quattro operazioni). La radice è già un polinomio, e non può essere trasformata in un polinomio di taylor. si utilizzano exploit matematici come derivate, teorema degli zeri, teorema di cauchy, per ottenere un algoritmo che trasformi il tutto in una serie di somme che la calcolatrice può calcolare...
in generale la radice non è altro che un esponente il cui valore è approssimato ad un numero, che viene trasformato in una somma di numeri, di cui viene fatto l'esponente e da qui la calcolatrice può calcolare. Sono calcoli complessi per una persona:
x^(1/7)=x^(0.14...)=x^(0+0.1+0.04+...)=
=x^0*x^(0.1)*x^(0.04)
e di conseguenza 0.1 è trasformato in 1/10 e approssimato a valori + semplici affinchè la calcolatrice possa calcolarli etc etc
per numeri negativi spesso la soluzione passa per i numeri complessi, e la calcolatrice trasforma la radice, prima in una radice complessa, di questa ne compie una analisi trigonometrica, cioè trasforma, la radice in questo modo (x per semplicità):
radice settima di x= radice settima di (x+i0) (numero complesso in forma lineare)
quindi
x=x+i0=|x|(cos pi+isin pi)
la radice è uguale a radice settima di |x|(sos pi/7 + i sin pi/7)
che è calcolata utilizzando il polinomio di taylor di seno e coseno così come abbiamo fatto per il ln
I CONCETTI ESPRESSI SONO IN GENERALE IN QUANTO SICURAMENTE ESISTONO ALGORITMI BEN + COMPLESSI DI QUESTI CHE SONO UTILIZZATI DALLE SOFTWARE HOUSE CHE PRODUCONO PROGRAMMI DI ANALISI E CALCOLO MATEMATICO PER PC E CALCOLATRICI, però è un buon inizio per capire....
spero di essere stato chiaro, ciao ciao e buone feste (scusa se son stato così prolisso e scusa gli errori di battitura..)
----------------------
ho visto i commenti:
un programma che segue un po' le linee che ti ho fornito è ad esempio Derive della TI (che produce calcolatrici), il sistema è in grado di fare grafici e semplici analisi delle funzioni, calcolo di limiti e calcolo di integrali, espansioni di taylor, sommatorie etc...
se hai il coraggio potresti provare mathematica della wolfram, ma questo è un programma per esperti di matematica, molto complesso da usare, in quanto le se possibilità sono talmente ampie che ogni impostazione deve essere chiamata in script, non è a disposizione sotto forma di iconcina, come in derive...
Auguri per gli studi!!!
-------------------------
Aggiungo ancora...
le formule di taylor seguono questo concetto di sommatoria:
presa una funzione f(x) e preso un punto x0 (detto anche centro) l'approssimazione della curva in f(x0) è uguale a
(k è grado di approssimazione del polinomio)
sommatoria di n=0 a k di
D n-esima (f(x0)) * 1/n! * (x-x0)^n
non è una formula semplice sprattutto scritta in questo modo, comunque puoi guardare qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor