Funzione (matematica)
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In matematica, una funzione f da X in Y consiste in:
1) un insieme X detto dominio di f
2) un insieme Y detto codominio di f
3) una legge che ad ogni elemento x in X associa uno ed un solo elemento f(x) in Y.
Si dice che x è l'argomento della funzione, oppure la variabile indipendente, mentre f(x) o y è il valore della funzione, oppure la variabile dipendente. Sinonimi di "funzione" sono: "applicazione", "operatore", "mappa", "relazione binaria univoca", "trasformazione".
Le funzioni hanno un ruolo importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che al contrario del precedente non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che il volume di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e della sua pressione si sta facendo un'affermazione interna ad un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione, il valore di quest'ultima viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri.
Indice [nascondi]
1 Esempi
2 Definizione astratta
2.1 Definizione alternativa
3 Operazioni sulle funzioni
4 Altre notazioni per le funzioni
4.1 Funzioni di due o più variabili
4.2 Funzioni a più valori
4.3 Operazioni binarie
5 Tipologia
5.1 Classificazione puramente insiemistica
5.2 Classificazione in base al genere di dominio e codominio
5.3 Classificazione delle funzioni nell'ambito della calcolabilità
5.4 Classificazione delle funzioni dell'analisi infinitesimale
5.5 Alcune funzioni notevoli
5.6 Funzioni di interesse probabilistico e statistico
6 Voci correlate
Esempi [modifica]
I più semplici esempi di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale associo il doppio di tale numero, ho una funzione, il cui dominio è dato appunto dai naturali, mentre il cui codominio è costituito dai naturali pari.
Tuttavia, si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio o entrambi non sono insiemi di numeri. Per esempio, se a ogni triangolo del piano associo il cerchio in esso inscritto, ho pure una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio inscritto.
Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori, per esempio la funzione che alle coordinate x, y, z di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura T e pressione P dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna (x, y, z), e ha sempre un solo valore, che è la coppia (T, P).
Definizione astratta [modifica]
Dati gli insiemi X e Y, si chiama funzione da X in Y un sottoinsieme f del prodotto cartesiano tale che per ogni , esiste uno ed un solo elemento tale che . Tale elemento tradizionalmente si denota con f(x): in altre parole, invece di scrivere possiamo usare la scrittura tradizionale .
Il fatto che f è una funzione da X in Y che associa a x l'elemento f(x) si può esprimere con la scrittura:
L'insieme X (da cui la funzione f "prende" i valori) è il dominio della funzione f, mentre l'insieme Y (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione f) è il codominio della funzione f.
Osserviamo che i termini metaforici "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento ad un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo trasformano nel corrispondente elemento del codominio. Dalla precedente ulteriore metafora del trasformare materialmente, segue il sinonimo trasformazione.
L'insieme
dato dagli elementi y del codominio per i quali esiste un x nel dominio che ha y come trasformata si chiama immagine di f e si denota anche con Im(f) o con f(X).
Anche questo termine proviene da un modello, quello che considera una funzione come un sistema ottico (ad esempio una lente); per tale modello agli elementi del dominio corrispondono possibili sorgenti luminose e agli elementi del codominio immagini di tali sorgenti.
Definizione alternativa [modifica]
Qualche matematico preferisce usare la seguente definizione alternativa di funzione, che pur essendo più precisa, è scarsamente utilizzata:
Una funzione è una terna ordinata (A,B,f), dove A è un insieme, B è un insieme, e tale che
Rispetto alla definizione data prima in questo caso, insieme alla legge di corrispondenza, vengono segnalati esplicitamente il dominio e il codominio. In Algebra astratta è comune trovare esempi di funzioni il cui codominio contiene elementi che non sono immagine di nessun elemento del dominio. In altre parti della matematica, e nella fisica, ciò è più raro, e quindi viene usata per praticità la definizione data prima, dando per scontato che il codominio sia costituito dall'immagine del dominio.
Operazioni sulle funzioni [modifica]
Date due funzioni f : X → Y e g : Y → Z si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima f ad x e quindi applicando g al risultato f(x).
Questa nuova funzione viene denotata con . Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere
Altre notazioni per le funzioni [modifica]
Per il valore di una funzione F corrispondente ad un elemento x, denotabile con la notazione tradizionale F(x), vengono anche usate anche due altre scritture.
Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone
.
Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissa si pone
.
Con queste notazioni per le composizioni di due funzioni F e G sono possibili ben 4 tipi di scritture:
,
,
,
.
A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:
.
In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Tra l'altro questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.
Funzioni di due o più variabili [modifica]
Quando il dominio di una funzione f è il prodotto cartesiano di due o più insiemi e dunque la funzione agisce su coppie (o terne o n-uple) di elementi di insiemi allora l'immagine di una coppia (x,y) viene indicata con la notazione
f(x,y)
sebbene in base alle notazioni introdotte sopra avremmo dovuto scrivere f((x,y)). In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di due (o più) variabili.
Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa due numeri naturali al loro prodotto: f(x,y) = x·y. Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio N×N , l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali.
Le variabili indipendenti a volte vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo scalare.
Funzioni a più valori [modifica]
Se il codominio di una funzione f è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.
Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:
.
Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esiste almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione
che associa ad ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un altro esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.
Operazioni binarie [modifica]
Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano Z×Z in Z, e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè x + y (e non + (x,y)) per descrivere l'immagine della coppia (x,y) tramite l'operazione + .
Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme X dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.
Tipologia [modifica]
Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse. La affollata e articolata popolazione delle funzioni viene quindi classificata seguendo diversi criteri.