kx + (k - 1)y - 1 = 0

a = k

b = k - 1

c = - 1

coefficiente angolare = - a/b = k/(1 - k) con k ≠ 1



- Equazioni delle generatrici e coordinate del centro C del fascio:

kx + ky - y - 1 = 0

{k(x + y) = 0 -> x = - y

{y + 1 = 0 -> y = - 1

C(1;-1)



- rette del fascio parallele agli assi cartesiani:

a) parallela all'asse x: deve essere nullo il termine in x

k = 0

Per k = 0 si ha

y + 1 = 0 -> y = - 1 parallela all'asse x

b) parallela all'asse y: deve essere nullo il termine in y

k - 1 = 0 -> k = 1

Per k = 1 si ha

x - 1 = 0 -> x = 1 parallela all'asse y



- la retta di equazione x + 2y = 0 ha coefficiente angolare m = - 1/2

Il coefficiente angolare della retta del fascio deve essere reciproco e opposto:

k/(1 - k) = 2

k = 2 - 2k -> 3k = 2 -> k = 2/3

Per k = 2/3:

2x - y - 3 = 0



- Formula della distanza di un punto da una retta:

|- 1|/√(k² + k² - 2k + 1) = 1/√5

√(2k² - 2k + 1) = √5

2k² - 2k + 1 - 5 = 0 -> k² - k - 2 = 0 -> (k + 1)(k - 2) = 0

k = -1 V k = 2

Per k = -1: x + 2y + 1 = 0

Per k = 2: 2x + y - 1 = 0



- angolo ottuso: coefficiente angolare < 0

k/(1 - k) < 0

k/(k - 1) > 0

verificata per k < 0 V k > 1



- la retta esclusa: k(x + y) = 0 ovvero y = - x interseca il segmento OB solo in O(0;0)

Centro C(1;-1)

Una retta del fascio passa per O(0;0) ed è la retta esclusa.

Una retta del fascio passa per B(-1;-1) ed è la retta di equazione

y = - 1 (B e C hanno la stessa ordinata)

Le rette del fascio intersecano il segmento OB per -∝ < k < 0



- Coordinate del centro C' del secondo fascio:

{x - y + 1 = 0

{3x + y - 1 = 0

Addizionando: 4x = 0 -> x = 0

{x = 0

{y = 1

C'(0;1)

La retta comune ai due fasci passa per C(1;-1) e C'(0;1)

(y - yC)/(yC' - yC) = (x - xC)/(xC' - xC)

Sostituisci le coordinate di C e C' ed ottieni l'equazione della retta comune ai due fasci:

y = -2x + 1



a.v.



@ tatolo: hai appena detto che le rette formano un angolo ottuso per k < 0 e le rette che intersecano il segmento OB formano un angolo ottuso con l'asse x orientato positivamente, quindi come può essere k > 0?

a)

kx + ky - y - 1 = 0

-y-1+k(x+y) = 0



le rette generatrici sono :

-y-1 = 0

x+y=0



Il centro lo trovi mettendo a sistema le generatrici

y= -1

x = -y = 1

Quindi C(1,-1)



b)

la retta del fascio // asse x : y = -1

la retta del fascio // asse y : x = 1



c)

il coeff angolare di x+2y=0 è

m = - 1/2

il coeff angolare del fascio

kx + ky - y - 1 = 0

y(k-1) = -kx+1

m1 = -k/(k-1)

deve essere

m1 = - 1/m

-k/(k-1) = 2

- k = 2k - 2

3k = 2

k = 2/3

equazione fascio

kx+ky-y-1=0

k(x+y)-y-1=0

quindi le rette generatrici sono

x+y=0

-y-1=0 --> y+1=0





metti a sistema le generatrici e trovi il centro del fascio

C(1;-1)





la retta parallela all'asse y deve avere il coefficiente della y nullo per cui poni

k-1=0 --> k=1

sostituisci questo valore nell'equazione del fascio e hai

x-1=0





la retta parallela all'asse x deve avere il coefficiente della x nullo per cui poni

k=0

sostituisci questo valore nell'equazione del fascio e hai

-y-1=0 -->

y+1=0





la retta di equazione x+2y=0 ha coefficiente angolare -1/2

la retta perpendicolare deve avere coefficiente angolare 2

il coefficiente angolare del fascio è

-k/(k-1)=k/(1-k)

quindi poni

k/(1-k)=2

trovi

k=2/3

sostituisci questo valore nell'equazione del fascio e hai

2/3x+(2/3-1)y-1=0

cioè

y=2x-3





la distanza tra la retta ax+by+c=0 e il punto P=(xp:yp) è data dalla formula

d=|axp+byp+c|/√(a²+b²)

quindi poni

√5/5 = |k(0)+(k-1)(0)-1|/√(k²+k²-2k+1)

cioè

√5/5 * √(k²+k²-2k+1) = 1

trovi

k=-1

k=2

sostituisci questi valori nell'equazione del fascio e hai

-x-2y-1=0 --> x+2y+1=0

2x+y-1=0





le rette del fascio formano con l'asse x un angolo ottuso quando il coefficiente angolare è negativo

quindi poni

k/(1-k)<0

k<0 V k>1





la retta per CO ha equazione

(y-yc)/(yo-yc)=(x-xc)/(xo-xc)

y=-x

ma tale retta non fa parte del fascio, si chiama infatti retta esclusa (il valore corrispondente sarebbe k=infinito)

tale retta ha infatti coefficiente angolare -1

il coefficiente angolare del fascio è

k/(1-k)

e per nessun valore di k questo è uguale a -1



la retta per BC ha equazione

y=-1 (coefficiente angolare uguale a 0)

e ottieni questa retta per k=0



aumentando il valore di k fino a + infinito il coefficiente angolare tende a -1 (retta per CO)

quindi i valori di k sono quelli che vanno da 0 a infinito

k>0





trovi il centro del fascio mettendo a sistema le due generatrici

x-y+1=0

3x+y-1=0

C'(0;1)

la retta comune ai due fasci è quella passante per i due centri, cioè

(y-yc)/(yc'-yc)=(x-xc)/(xc'-xc)

y=-2x+1