Io faccio il liceo e l'avrei spiegata così a un mio coetaneo.



x^2+y^2-6x-4y+k+1=0

(x-3)^2+(y-2)^2+k+1=9+4

(x-3)^2+(y-2)^2=12-k

Visto che si parla di un grafico cartesiano posso dire con tranquillità che k è nell'intervallo (-inf, 12)

Sappiamo che il centro è in (3,2) ossia nel primo quadrante.



Dunque facciamo un ragionamento logico:

Sia r il raggio della circonferenza (e quindi r è positivo non nullo)

r^2=12-k

se r=2 il cerchio è tangente all'asse x poiché il centro è in (3,2).

Quindi per qualsiasi valore r più grande abbiamo un cerchio che invade altri quadranti

r è nell'intervallo (0,2]

12-k è nell'intervallo (0,4]

k è nell'intervallo [8,12)

DOMANDA FINALE: "Oppure invece è tutto molto più semplice?".

Non so se lo considererai "tutto molto più semplice" o no, ma io per prima cosa suggerisco di classificare e poi trasformare l'equazione del fascio di coniche data in forma normale canonica

* x^2 + y^2 - 6*x - 4*y + k + 1 = 0

nella forma normale standard

* Γ ≡ ((x - α)/a)^2 + ((y - β)/b)^2 = 1

da cui si vede se rappresenta una circonferenza o no, e a quali condizioni (a = b != 0); e, se lo è, ridurla alla forma semplificata

* Γ ≡ (x - α)^2 + (y - β)^2 = q = r^2

dalla quale è facile ricavare per ispezione

* coordinate del centro C(α, β);

* misura del raggio r = √q.

Con questi valori dovrebb'essere facile imporre che sia "min(α, β) > r".

==============================

La trasformazione si ottiene per completamento di quadrati.

* x^2 - 6*x = (x - 3)^2 - (3)^2

* y^2 - 4*y = (y - 2)^2 - (2)^2

(e successivi massaggini!)

* x^2 - 6*x + y^2 - 4*y + k + 1 = 0 ≡

≡ (x - 3)^2 - (3)^2 + (y - 2)^2 - (2)^2 = - (k + 1) ≡

≡ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = - (k + 1) + 13 ≡

≡ Γ(k) ≡ (x - 3)^2 + (y - 2)^2 = (12 - k) = q

==============================

RISPOSTE (al problema)

L'equazione Γ(k) rappresenta un fascio di circonferenze concentriche in C(3, 2) e con raggio

* r = √(12 - k)

quindi

* per k > 12, r = i*√|q|: Γ(k) è una circonferenza immaginaria, priva di punti reali;

* per k = 12, r = 0: Γ(k) è una circonferenza degenere su C, che è l'unico punto reale;

* per k < 12, r = √q > 0: Γ(k) è una circonferenza reale [RISPOSTA #1].

Inoltre si ha

* min(3, 2) = 2

* min(α, β) > r ≡

≡ 2 > √(12 - k) > 0 ≡

≡ 8 < k < 12 [RISPOSTA #2].

==============================

DOMANDE PREFINALI: "E' corretto? E' possibile? Se sì, come?".

RISPOSTE: Sì! Sì! Vedi di seguito.

L'insieme dei due assi coordinati è un'iperbole degenere sugli asintoti di equazione "x*y = 0".

La generica circonferenza del fascio ha equazione

* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 6*x - 4*y + k + 1 = 0 [con k < 12, trovato con altri mezzi]

Le intersezioni delle due coniche sono le quattro soluzioni del sistema di quarto grado

* (x*y = 0) & (x^2 + y^2 - 6*x - 4*y + k + 1 = 0)

se risultano tutt'e quattro complesse vuol dire che Γ(k) non interseca gli assi e perciò è tutta compresa nel quadrante che contiene il centro [da trovare con altri mezzi].

Quindi

* (x*y = 0) & (x^2 + y^2 - 6*x - 4*y + k + 1 = 0) ≡

≡ (x, y) = (0, 2 ± √(3 - k)) oppure (x, y) = (3 ± √(8 - k), 0)

che sono tutt'e quattro complesse solo se k > 8.

==============================

Lo sai che Y!A ti dà 3 punti se scegli una "Miglior risposta"? Se puoi, scegli questa!

v. http://www.yanswersblogit.com/b4/2010/01/08/evita-lo-spareggio-scegli-la-miglior-risposta/

Grazie Stefano, direi che è la risposta che mi aspettavo. Prima di usare la matematica,

usare la logica analizzando i dati a disposizione e i risultati già ottenuti.

Qualche precisazione per me che ho solo un'infarinatura sull'argomento:

1) qual'è la definizione del termine "-inf" che hai usato per definire l'intervallo in cui

deve essere k perchè la c. sia tutta nel primo quadrante?

2) il ragionamento logico che tu presenti vale solo dopo che ho determinato

che il fascio di circonferenze è concentrico, e quindi il centro non si sposta, corretto?

3) Nella penultima riga scrivi che 12-k è nell'intervallo (0,4] ma, se 12-k è uguale al quadrato

del raggio e il raggio non può essere nullo allora il primo termine dell'intervallo non dovrebbe

essere anch'esso un valore non nullo? (Ma probabilmente mi sfugge qualcosa...)



Grazie.



Molte grazie anche a exProf per il tempo dedicatomi.



fabio