lo sviluppo in serie di un polinomio o funzione è stato ideato da taylor (da non confondere con quel taylor della 2° riv industriale) e serve per approssimare dei polinomi o delle funzioni..l'ho fatto tempo fa e non lo ricordo benissimo (infatti sto usando gli appunti)..
per fare lo sviluppo in serie non ci vuole nulla ma per capirlo ti serve un bel pò di robetta (come conoscere le derivate, fondamentale, e i vari teoremi delle derivate, tra cui lagrange).
questo sviluppo trasforma un polinimo o una funzione in una serie di somme (da cui serie di taylor).. più somme sono e meglio è approssimata la funzione..
con una serie di ragionamenti (compreso il teorema di lagrange) taylor giunse a una regola generale di approssimazione:
f(x) = f(x0) + f '(x0)(x-x0) + {[f ''(x0)(x-x0)^2] : 2!} + {[f '''(x0)(x-x0)^3] : 3!} ecc ecc
con questa puoi approssimare qualsiasi funzione, comprese quelle trigonometriche, basta che conosci il valore della derivata nel nel punto x0 (che è un valore che ti scegli tu)..
per McLaurin non aveva senso incasinarsi la vita calcolandosi la derivata di seno e coseno in punti in cui il risultato era un numero con la virgola, quindi ha detto "perchè no? se mi calcolo le funzioni trigonometriche con x0=0 ottengo valori interi, es: cos(0)=1, sin(0) = 0..."..
quindi, se non ricondo male, lo sviluppo di mclauric è uguale a quello di taylor, solo che mette x0=0, quindi lo sviluppo diventa:
f(x) = f(0) + f '(0)(x) + {[f ''(0)x^2] : 2!} + {[f '''(0)x^3] : 3!} e cosi via...
ora mi accorgo di un problema... il logaritmo di zero, in qualsiasi base, non esiste ma è un limite (cioè esponente negativo che tende a infinito).
ora ti faccio lo sviluppo fino a 4 (anche se è meglio che ci provi tu, dato che molte cose non me le ricordo benissimo):
ln(x) = ln(0) + (1/x)*x + {[(1/x^2)*x^2] : 2} + {[(2/x^3)*x^3] : 3!} + {[(6/x^4)*x^4] : 4!}
nella speranza di non aver commesso errori il risultato dovrebbe essere questo:
ln(x) = -oo + 1 + (1/2) + (2/6) + (6/24)
purtroppo non posso darti molte sicurezze.. so che lo sviluppo di mclaurin si fa con x0=0 però c'è quel -oo (- infinito) che mi lascia perplesso...
nel caso io non abbia commesso errori lo sviluppo che puoi fare con mclaurin è ln(x+1), oppure usi taylor con x0=1...
scusa se non posso esserti di ulteriore aiuto... spero di averti dato qualche minimo spunto.