Domanda:
Esercizio reticoli e relazioni binarie algebra università?
Raphaelk
2014-07-24 09:16:16 UTC
In S := N × {0, 1} si definiscano le relazioni binarie ρ e σ:
(∀(a, i), (b, j) ∈ S)

(a,i) ρ (b,j) <=> (a|b ∧ i ≤ j);
(a,i) σ (b,j) <=> (a|b ∨ i≤j).

(i) Spiegare perchè ρ è una relazione d’ordine e perchè σ non lo è.

(ii) (S,ρ) `e un reticolo? Determinarne gli (eventuali) elementi minimali, massimali, minimo,
massimo.
(iii) Descrivere l’insieme dei maggioranti di A := {(10, 0), (14, 0), (2, 1)} in (S, ρ) e, se esiste, sup A.
Posto X = {(1, 0), (2, 0), (2, 1), (4, 0), (6, 0), (10, 0), (100, 1)},
(iv) Disegnare il diagramma di Hasse di (X, ρ). (X, ρ) `e un reticolo?
(v) Determinare eventuali elementi minimali, massimali, minimo, massimo in (X, ρ).
(vi) Determinare, se esiste, un elemento a ∈ S tale che (X ∪ {a}, ρ) sia un reticolo. E` possibile scegliere a in modo che non sia il massimo di (X ∪ {a}, ρ)? Nel caso a esista, il reticolo (X ∪ {a}, ρ) `e distributivo? E` complementato?

Vi ringrazio in anticipo
Una risposta:
?
2014-07-28 00:20:03 UTC
(i) ρ è d’ordine in quanto prodotto cartesiano di (N, |), ({0, 1}, ≤); σ non è d’ordine perché non transitiva: p.es. (2, 1) σ (2, 0) σ (1, 0), ma (2, 1) ~σ (1, 0)



(ii) (S,ρ) è un reticolo perché lo sono (N, |), ({0,1}, ≤):

inf{(a, i), (b, j)} = (MCD(a, b), min{i, j})

sup{(a ,i), (b, j)} = (mcm(a, b), max{i, j})

max S = (0, 1)

min S = (1, 0)



(iii) Dato A := {(10, 0), (14, 0), (2, 1)}, i maggioranti di A sono gli elementi (a, i) tali che

(10|a /\ 0≤i) /\ (14|a /\ 0≤i) /\ (2|a /\ 1≤i) <==> (70|a /\ b = 1)

sup A = (70, 1)



(iv)



. . . (100,1)

. . . / . . | . . \

. . / . . . | . . . \

(4,0) (10,0) (2,1)

. . \ . . . | . . . /

. . . \ . . | . . / . . (6,0)

. . . . (2,0) –––/

. . . . . . |

. . . . (1,0)



non è un reticolo perché in X, p.es. non esiste sup{(100,1), (6,0)}.



(v) min X = (1, 0), non esiste max X, gli elementi massimali sono (6, 0), (100, 1).

(vi) X U {(x,i)} è un reticolo se e solo se (x,i) soddisfa ((100,1) ρ (x,i)) /\ ((6,0) ρ (x,i)), ovvero 300|x /\ i=1; allora necessariamente (x,i) = max X.

Sia 300|x /\ i=1.

Il reticolo X U {(x,i)} non è complementato perché p.es. (100,1) non ha complementare.

Il reticolo X U {(x,i)} non è distributivo perché p.es.

((10,0) /\ (2,1)) \/ (6,0) = (2,0) \/ (6,0) = (6,0)

((10,0) \/ (6,0)) /\ ((2,1) \/ (6,0)) = (x,i) /\ (x,i) = (x,i)





ciao


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