Vediamo un po'...
La definizione rigorosa di «differenziale della f nel punto x con incremento dx» è:
df(x, dx) = f'(x)·dx
cioè è - per definizione - il prodotto fra la derivata prima della f nel punto x e l'incremento dx.
Se i richiami che seguono (che ho delimitato fra i simboli ◌◌◌...) ti fanno più confondere che comprendere, saltali e puoi andare direttamente ai calcoli. Di solito, per abbreviare si scrive: df = f'(x)·dx
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Il differenziale di una funzione - che si indica con dy o con df - è una «approssimazione lineare» dell'incremento che la funzione (f) ha quando da x si passa a x+dx; dove per dx s'intende l'incremento dato a x.
Quest'incremento dx si chiama "differenziale della variabile indipendente".
In altre parole, il differenziale è un tratto di retta (un segmento) che - sostituito all'incremento che ha la f in un intervallo (cioè fra due punti) dell'asse x - dà un'approssimazione (lineare) dell'incremento della f (in corrispondenza di x e di dx).
Purtroppo è difficile spiegarlo solo a parole. Con un grafico si vedrebbe meglio. Se una f è derivabile in un punto x, il differenziale df di f permette di scrivere Δf (l'incremento della f quando si passa da x a x+dx) come:
Δf = df + ε
cioè come il df più un «errore» ε. Per esteso:
f(x+Δx) - f(x) = f'(x)·Δx + ε(Δx)
dove con ε(Δx) si è sottolineata la dipendenza dell'errore ε da Δx.
E si dimostra che l'errore ε(Δx) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a Δx.
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In base alla definizione, provo a fare così.
Innanzitutto mi propongo di trovare il differenziale della funzione ³√x (con la definizione df = f'(x)·dx):
d(³√x) = d(x^(1/3)) = (1/3)((x)^(-2/3))·dx = 1/(3³√x²)·dx
siccome 1002,5 è "vicino" a 1000 (ci conviene considerarlo perché la f è "radice terza"), allora scelgo di lavorare proprio in un intorno di x=1000:
df(1000, dx) = 1/(3³√(1000)²)·dx = (1/300)·dx
A questo punto c'è una formula da applicare, ed è quella che ci dà l'approssimazione:
f(1000+dx) = f(1000) + df(1000, dx) + ε(dx)
scegliendo dx=2,5 (1002,5-1000), e tagliando fuori l'errore ε(dx):
f(1002,5) ≈ f(1000) + (1/300)·(2,5) = 10 + 0,0083 = 10,008333
Nota: ai fini della formula, ho potuto scegliere dx=2,5 perché ³√x è derivabile fra x (1000) e x+dx (1002,5).
Rispetto a ³√1002,5=10,008326 si vede che l'errore è molto piccolo (sebbene il concetto di "piccolo" sia sempre relativo): 0,000007.
● Secondo esercizio.
Cerco di approssimare √80 passando attraverso la funzione √x.
Mi trovo il differenziale di √x:
d(√x) = d(x^(1/2)) = (1/2)((x)^(-1/2)) · dx = 1/(2√x) · dx
dato che 80 è vicino a 81=9², scelgo x=81 e l'incremento - negativo, questa volta - pari a -1:
df(81, -1) = 1/(2√81)·(-1) = -1/18
Non ci resta che applicare la formula:
f(81-1) = f(81) + df(81, -1) + ε(-1)
Approssimata:
f(80) ≈ f(81) - 1/18 = 9 - 1/18 = 8,94444
L'errore è pari a:
√80-8,94444 = 8,94427-8,94444 = 0,00017
● Esercizio 3.
La funzione questa volta ci ricorda e^x, e ne trovo il differenziale:
df = (e^x)·dx
Questa volta -0,14 sembra particolarmente vicino a un numero che ci può aiutare: provo a scegliere un intorno dello 0, e quindi come incremento (negativo) scelgo -0,14:
df(0, dx) = 1·dx = dx
f(0+dx) = f(0) + df(0, dx) + ε(dx)
e^(-0,14) = f(-0,14) ≈ f(0) + 1·(-0,14) = 1 - 0,14 = 0,86
Ricorda la formula da applicare
f(x+Δx) - f(x) = f'(x)·Δx + ε(Δx)
PS: ho fatto un lungo lavoro, e ho avuto una gran pazienza :)