1) x^3 - 6x^2 + 12x - 8 - 3x^2 + 3x > x^3 +x^2 - 2x - 1

10x^2 - 17x + 7 < 0

L'equazione associata è

10x^2 - 17x + 7 = 0

x(1,2) = (17 ± 3)/20

x1 = 14/20 = 7/10

x2 = 1



La disequazione diventa

(10x - 7)(x - 1) < 0

Senza dover calcolare ogni volta i valori di x e fare schemi infiniti, segui questa semplicissima regola:

quando Δ > 0, se il segno di x² è concorde con il verso della disequazione, questa è verificata per valori di x esterni all'intervallo delle soluzioni.

Se invece il segno di x² è discorde con il verso della disequazione, questa è verificata per valori di x interni allo stesso intervallo.

In questo caso la disequazione è di 2° grado, il segno di x² è positivo ed è quindi discorde con il verso: la disequazione è verificata per valori interni all'intervallo delle soluzioni:

7/10 < x < 1



2) x³ - 4x² + x - 4 < 0

Senza scomodare Ruffini, la scomposizione del polinomio è semplicissima:

x²(x - 4) + (x - 4)

(x - 4)(x² + 1) < 0

Poiché (x² + 1) è somma di quadrati e come tale sempre > 0, possiamo non tenerne conto e discutiamo solo

x - 4 < 0

verificata per x < 4



3) x⁴ + 5x² - 36 > 0

Anche qui non scomodiamo nessuno e usiamo la regola di somma e prodotto:

x⁴ + 5x² - 36 = (x² + 9)(x² - 4)

x² + 9 è somma di quadrati, si tralascia e rimane:

x² - 4 > 0

(x + 2)(x - 2) > 0

Segno di x² concorde con il verso: valori esterni all'intervallo delle soluzioni dell'equazione associata:

x < - 2 v x > 2



4) Qui invece Ruffini è d'obbligo ma vediamo subito che il polinomio al primo membro si annulla per x = 1

ed è quindi divisibile per x - 1



....1....-2...+3.... -2

1.........1...-1...... 2

___________________

....1....-1... 2...... 0



P(x) = (x - 1)(x² - x + 2)

L'ultimo trinomio tra parentesi non è più scomponibile perché ha Δ < 0, quindi rimane

x - 1 > 0

per x > 1



Come vedi, eliminando qua e là, nessuna di queste disequazioni supera il 2° grado. Ciao.

x^3-8-6x^2+12x-3x^2+3x>x(x^2+2x-x-2)-1

x^3-9x^2+15x-8>x^3+2x^2-x^2-2x-1

-10x^2+17x-7>0

10x^2-17x+7<0



valori interni



7/10


2

Scomponi con ruffini, con il 4

(X^2+1)(x-4)<0

x<4



3

Ruffini con 2

(x^3+2x^2+9x+18)(x-2)

Ruffini con il -2

(x^2+9)(x+2)(x-2)>0

x<-2 V x>2



4

Ruffini con 1

(x^2-x+2)(x-1)>0

x>1

x



E' corretto quello che ricordi... ma vediamo in dettaglio come si fa.



IL PRIMO ESERCIZIO... quello che ti ha fatto l'altro risponditore... NON E' DI TERZO GRADO !

Infatti compare x³ sia a destra che a sinistra... MA SI SEMPLIFICANO, quindi rimane una equazione di secondo grado!



Passiamo alla seconda disequazione, così ripassiamo anche la teoria.

OCCORRE SCOMPORRE IL POLINOMIO con Ruffini... basta fare una sola una scomposizione . . . ma ove possibile puoi farne anche una successiva.



Devi trovare un valore che, sostituito alla x, ANNULLA IL POLINOMIO . .. e lo devi cercare tra i divisori del termine noto 4.

Quindi cercherai tra +1, -1, +2, -2, +4, -4



il numero che va bene è +4... quindi il Polinomio si divide ( scompone ) per ( x - 4 ) . . e viene:



( x - 4 ) ( x² + 1 ) < 0



Ovviamente devi ripassare la regola di Ruffini... e come si fa la DIVISIONE tra Polinomi.

In questo caso (molto facile) potevi anche raccogliere a fattore comune:

x² ( x - 4 ) + 1 ( x - 4 ) = ( x² + 1 ) ( x - 4 ) . . . ma non sempre le cose vengono così facili.



Adesso, come ti dicevo... abbiamo un POLINOMIO DI 2° grado a fattore... e non sempre si riesce a scomporlo ! E non sempre esso ha soluzioni REALI...

Insomma... ti ricordi come si fanno le DISEQUAZIONI DI 2° GRADO ??



x² + 1 . . E' SEMPRE > 0 . . . perché ha il DELTA NEGATIVO...



adesso mettiamo in un diagramma lineare con capisaldi... i segni dei due FATTORI...



. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4 . . . . . . . . . . . . . .

segno di x-4 - - - - - - - - - - - + + + + + + + + +

segno di x²+1 + + + + + + + + + + + + + + + +



per la regole dei segni... il prodotto è NEGATIVO solo per x < 4



.............................................................



il terso esercizio E' UNA BIQUADRATICA... altra tipologia di esercizio.

Si inizia a risolvere considerando x² come incognita: . . la chiamiamo y per il momento... e viene



y² + 5y - 36 > 0



è una disequaz di 2° grado... soluzioni DELLA EQUAZIONE sono y = -9 . . e . . y = 4

quindi il polinom è POSITIVO all' ESTERNO DELLE RADICI : y < -9 . . e . . y > 4



adesso sostituiamo la y con x² . . ed abbiamo:



x² < -9 . . che è IMPOSSIBILE : un quadrato non è mai negativo... è sempre >= 0

oppure la scrivi x² + 9 < 0 . . . vedi che ha il DELTA < 0 . . quindi il polinom è sempre positivo !



x² > 4 . . . questa è una DISEQUAZIONE di secondo grado... che scriverai x² - 4 > 0

soluzioni sono : x < -2 . . e . . x > 2



come vedi... occorre saper maneggiare bene le disequazioni di 2° grado !!



......................................



il terzo esercizio è simile al secondo... iniziamo a scomporre una prima volta con ruffini :



Il numero che ci annulla il polinomio è x = 1 . . quindi scomponiamo per ( x - 1 )



( x - 1 ) ( x² - x + 2 ) > 0



Anche in questo caso... il Polinomio di 2° grado ha il DELTA < 0 . . quindi è sempre positivo.

Facendo il grafico come al punto (2) . . troverai come soluzione x > 1 . . . infatti stavolta vogliamo che il prodotto sia > 0



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In questi esercizi NON SI E' PRESENTATO il caso più complicato... quello in cui il polinomio si frazione in tre parti... del tipo ( x - 3 ) ( x² - 1 ) . . . . ossia .. . . ( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )



Lo puoi risolvere in due modi... o studiando il primo prodotto... oppure studiando il segno del secondo prodotto. Ovviamente... i risultati coincidono !!